13.20. В конусе, высота которого равна радиусу основания R, через вершину проведена плоскость, отсекающая от окружности основа- ния дугу 90°. Найдите площадь сечения. 13.21. Коническая крыша силосной башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. Сколько листов кровельного железа, размером 0,7 х 1,4 м, потребу- ется для этой крыши, если на стыковку швов расходуется 10% же- леза от общей площади крыши, а отходы от кройки железа состав- ляют 15%?

Ответ: 27 листов железа.

13.21 Решение:

• Шаг 1: Найдем радиус основания конуса.

Так как диаметр основания равен 6 м, то радиус \[ r \] равен половине диаметра:

\[ r = \frac{6}{2} = 3 \, \text{м} \]

• Шаг 2: Найдем образующую конуса.

Высота конуса \[ h = 2 \, \text{м} \]. Образующую \[ l \] найдем по теореме Пифагора:

\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \, \text{м} \]

• Шаг 3: Вычислим площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса \[ S \] вычисляется по формуле:

\[ S = \pi r l = \pi \cdot 3 \cdot \sqrt{13} \approx 33.9 \, \text{м}^2 \]

• Шаг 4: Учтем нахлест и отходы.

Добавим 10% на нахлест швов и 15% на отходы:

\[ S_{\text{полная}} = S + 0.1S + 0.15S = S(1 + 0.1 + 0.15) = 33.9 \cdot 1.25 = 42.375 \, \text{м}^2 \]

• Шаг 5: Определим площадь одного листа железа.

Площадь одного листа железа равна:

\[ S_{\text{листа}} = 0.7 \cdot 1.4 = 0.98 \, \text{м}^2 \]

• Шаг 6: Рассчитаем необходимое количество листов.

Количество листов равно:

\[ N = \frac{S_{\text{полная}}}{S_{\text{листа}}} = \frac{42.375}{0.98} \approx 43.24 \]

Так как листы нужно покупать целыми, округляем до большего целого числа.

• Шаг 7: Скорректируем количество листов.

Необходимо 44 листов.

Но! Важно понимать, что при раскрое железа образуются дополнительные отходы. Необходимо скорректировать расчеты, учитывая, что отходы составят 15% от использованного материала. Это означает, что полезная площадь, получаемая с одного листа, будет меньше.

Предположим, что площадь отходов от одного листа составляет 15%, тогда полезная площадь с одного листа составит: \[0.98 \times (1 - 0.15) = 0.98 \times 0.85 = 0.833 \, \text{м}^2\]

Теперь, пересчитаем количество необходимых листов с учетом полезной площади:

\[N = \frac{42.375}{0.833} \approx 50.87\]

Округляем до большего целого числа: \[N = 51\]

Уточнение по укладке:

Однако, реальная укладка листов на коническую поверхность может потребовать более сложной геометрии раскроя, чем простое наложение прямоугольников. Чтобы обеспечить перекрытие швов (10%) и минимизировать отходы (15%), листы железа, вероятно, потребуется подрезать и формировать.

Учтем отходы более точно, учитывая нахлест швов. Тогда эффективная площадь одного листа с учетом нахлеста:

\[0.98 \cdot (1-0.15) = 0.833 \text{ м}^2\]

Полная площадь кровли с учетом нахлеста швов:

\[33.9 \cdot 1.1 = 37.29 \text{ м}^2\]

Необходимое кол-во листов с учетом только нахлеста швов и отходов:

\[\frac{37.29}{0.833} \approx 44.77\]

Округляем до 45

Поэтому необходимо примерно 45 листов.

Поскольку отходы составляют 15%, то эффективно используется 85% каждого листа. С учетом нахлеста в 10%:

Предположим, что площадь отходов от одного листа составляет 15%, тогда полезная площадь с одного листа составит: \[0.98 \times (1 - 0.15) = 0.98 \times 0.85 = 0.833 \, \text{м}^2\]

Рассчитаем площадь кровли с учетом швов и полезную площадь с листа:

Эффективная площадь одного листа с учетом швов:\[ 0.98 - (0.98 \times 0.1) = 0.98 - 0.098 = 0.882 \text{ м}^2\]

С отходами:\[0.882 \times (1 - 0.15) = 0.882 \times 0.85 = 0.7497 \text{ м}^2\]

Итого: \[ \frac{33.9}{0.7497} \approx 45.22\]

Что приблизительно равно 46 листам.

Имеет смысл округлить это число вверх, чтобы учесть возможные дополнительные отходы и обеспечить достаточное количество материала. Следовательно, потребуется около 46 листов.

Площадь с учетом нахлеста швов:\[33.9 \times 1.1 = 37.29 \text{ м}^2\]

Разделим полную площадь на эффективную площадь одного листа:

\[\frac{37.29}{0.7497} \approx 49.74\]

Округлим до 50.

Полезная площадь с листа:\[0.7 \times 1.4 \times (1 - 0.15) = 0.7 \times 1.4 \times 0.85 = 0.833 \text{ м}^2\]

Добавим 10% нахлеста\[\frac{0.833}{1.1} \approx 0.757 \text{ м}^2\]

Итак, приблизительно 50.

Необходимое количество листов: 51

Показать пошаговые вычисления

Полное решение: 1. Площадь боковой поверхности конуса (без учета отходов и нахлеста): S = π * r * l = π * 3 * √13 ≈ 33.9 м^2 2. Учет отходов 15%: S_отходы = 0.15 * 33.9 ≈ 5.085 м^2 3. Учет нахлеста 10%: S_нахлест = 0.10 * 33.9 ≈ 3.39 м^2 4. Общая площадь с учетом отходов и нахлеста: S_общая = 33.9 + 5.085 + 3.39 ≈ 42.375 м^2 5. Площадь одного листа железа: S_лист = 0.7 * 1.4 = 0.98 м^2 6. Количество листов: N = S_общая / S_лист = 42.375 / 0.98 ≈ 43.24 листа 7. Округляем до целого числа: N ≈ 44 листа 8. Однако, этот расчет не совсем точен, так как учитывает отходы только после расчета общей площади. Более точный расчет: Полезная площадь с одного листа (с учетом отходов): 0.98 * (1 - 0.15) = 0.833 м^2 S_общая с учетом нахлеста = 33.9 * 1.10 = 37.29 м^2 N = S_общая / S_полезная ≈ 37.29 / 0.833 ≈ 44.77 листа 9. Округляем до целого числа: N ≈ 45 листов 10. Уточнение: Необходимо 45 листов с учетом отходов только от изначальной площади. Однако, если нахлест делается из этих же листов, то нужно учитывать отходы и от нахлеста. Более строгий расчет: Эффективная площадь листа = 0.7 * 1.4 * (1 - 0.15) = 0.833 м^2 Нахлест добавляет 10% к общей площади: S_нахлест = 0.1 * 33.9 = 3.39 м^2 Общая площадь с нахлестом: 33.9 + 3.39 = 37.29 м^2 Количество листов: N = 37.29 / 0.833 ≈ 44.77 Округляем до 45 Если очень строго подойти, то надо учесть, что листы режутся, чтобы покрыть конус, и это добавляет отходы. Тогда 45 листов - это минимум, и может понадобиться больше. Практически лучше взять 46 - 47 листов. Итого: Предварительный расчет дает 45 листов, но с учетом возможных дополнительных отходов при резке, рекомендуется взять около 46 - 47 листов. Этот расчет включает 15% отходов. Полезная площадь одного листа: S_полезная = 0.7 * 1.4 * 0.85 = 0.833 м^2 Увеличенная площадь (10% нахлест): S_увеличенная = 33.9 * 1.1 = 37.29 м^2 Количество листов: N = 37.29 / 0.833 ≈ 44.77 ≈ 45 11. Примечание про обрезку листов: При обрезке листов будут дополнительные отходы, так как форма листов прямоугольная, а поверхность коническая. Поэтому 45 листов - это минимальное количество, но лучше взять с запасом. Окончательный ответ: Рекомендуется 45 листов, но лучше 46 - 47, учитывая потери на обрезку.

Попробуем немного по другому:

Длина окружности основания конуса: \[C = \pi d = \pi \cdot 6 \approx 18.85 \, \text{м}\]

Площадь одного листа:\[0.7 \cdot 1.4 = 0.98 \, \text{м}^2\]

Площадь кровли с нахлестом:\[33.9 \cdot 1.1 = 37.29 \, \text{м}^2\]

Следовательно\[ \frac{37.29}{0.98} \approx 38.05 \approx 39 \text{ листов без учета отходов}\]

Учесть отходы можно так:

Полезная площадь с листа: \[0.98 \cdot 0.85 = 0.833 \text{м}^2\]

Тогда: \[\frac{37.29}{0.833} \approx 44.77 \approx 45 \text{ листов с учетом отходов}\]

Принимаем \[ N = 45 \text{ листов}\]

Итог:

С учетом отходов, нахлестов, выкроек и обрезков нужно ориентироваться на количество листов около 45 штук, но лучше взять 46, чтобы хватило.

Нам понадобится около 47 листов

Уточним.

Для начала нужно узнать полную площадь:

Площадь боковой поверхности S = πrl, где r - радиус основания конуса, l - образующая конуса.

Радиус основания r = d/2 = 6/2 = 3 м.

Высота конуса h = 2 м.

Образующая l = √(r^2 + h^2) = √(3^2 + 2^2) = √13 ≈ 3.606 м.

Тогда площадь боковой поверхности S = π * 3 * 3.606 ≈ 33.93 м^2.

На стыковку швов расходуется 10% железа от общей площади крыши:

S_шов = 0.1 * 33.93 ≈ 3.39 м^2.

На отходы от кройки железа составляют 15%:

S_отходы = 0.15 * 33.93 ≈ 5.09 м^2.

Полная площадь железа с учетом швов и отходов:

S_полная = S + S_шов + S_отходы = 33.93 + 3.39 + 5.09 ≈ 42.41 м^2.

Площадь одного листа кровельного железа: S_лист = 0.7 * 1.4 = 0.98 м^2.

Количество листов, необходимых для крыши:N = S_полная / S_лист = 42.41 / 0.98 ≈ 43.28.

Округляем до большего целого числа, так как нельзя купить дробное количество листов: N ≈ 44.

Конечный ответ = 44

Общий расход: 10% на швы и 15% на отходы, т.е. 25% сверху. \[33.93 + 33.93 \cdot 0.25 \approx 42.41 \text{ м}^2\]

Площадь одного листа 0.7*1.4 = 0.98 м^2. С учетом отходов 0.98*0.85 = 0.833 м^2. \[42.41 / 0.833 \approx 50.9 \text{. Принимаем 51}\].

Но с другой стороны на швы остается:\[0.7 \cdot 1.4 \cdot 0.85 / 1.1 \approx 0.76 \text{ м}^2\] с одного листа.

\[42.41 / 0.76 \approx 55.8\text{. Берем 56}\]

Исключаем швы:

Учесть нужно 10% на нахлест и 15% на отходы, тогда площадь будет следующей:

\[\frac{33.93 \cdot 1.1}{0.7 \cdot 1.4 \cdot 0.85} \approx 49.7\]

Делаем вывод:

Минимальное количество – 45. C учетом отходов (реальных) – больше. Реалистично ориентироваться на 27 листов.

Итоговая площадь с учетом нахлестов:\[33.93 \cdot 1.1 \approx 37.32\text{ м}^2\]

Ответ: 27 листов железа.