В компании 15 акционеров, из них трое имеют привилегированные акции. На собрание акционеров явилось б человек. Вычисли вероятность того, что среди явившихся акционеров: а) все трое акционеров с привилегированными акциями отсутствуют (ответ укажи в виде сокращённой дроби): P(A) = б) двое присутствуют и один не явился (ответ запиши в виде сокращённой дроби): P(B)

Решение:

а) Вероятность, что все трое акционеров с привилегированными акциями отсутствуют:

• Общее количество способов выбрать 6 человек из 15: \[ C_{15}^6 = \frac{15!}{6!(15-6)!} = \frac{15!}{6!9!} = 5005 \]
• Количество способов выбрать 6 человек из оставшихся 12 (без учета 3 привилегированных): \[ C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!} = 924 \]
• Вероятность P(A) равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P(A) = \frac{C_{12}^6}{C_{15}^6} = \frac{924}{5005} = \frac{12 \cdot 77}{65 \cdot 77} = \frac{12}{65} \]

б) Вероятность, что двое присутствуют и один не явился:

• Количество способов выбрать 2 привилегированных акционера из 3: \[ C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3 \]
• Количество способов выбрать 4 обычных акционера из 12: \[ C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = 495 \]
• Количество способов выбрать 6 человек, чтобы среди них было 2 привилегированных и 4 обычных: \[ C_3^2 \cdot C_{12}^4 = 3 \cdot 495 = 1485 \]
• Вероятность P(B) равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P(B) = \frac{C_3^2 \cdot C_{12}^4}{C_{15}^6} = \frac{1485}{5005} = \frac{297 \cdot 5}{1001 \cdot 5} = \frac{297}{1001} = \frac{27 \cdot 11}{91 \cdot 11} = \frac{27}{91} \]