В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают исторический кружок, а 10 — химический. Укажите номера истинных утверждений. 1) Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка. 2) Найдутся хотя бы двое учащихся этого класса, кто посещает оба кружка. 3) Каждый, кто посещает исторический кружок, обязательно посещает и химический кружок. 4) Меньше 11 человек посещают и исторический кружок, и химический кружок.

Решение:

Обозначим:

• \( H \) — множество учеников, посещающих исторический кружок;
• \( X \) — множество учеников, посещающих химический кружок.

Из условия известно:

• Общее количество учеников в классе: \( |U| = 20 \).
• Количество учеников, посещающих исторический кружок: \( |H| = 13 \).
• Количество учеников, посещающих химический кружок: \( |X| = 10 \).

Найдем минимальное и максимальное количество учеников, посещающих оба кружка \( |H \cap X| \).

Минимальное количество учеников, посещающих оба кружка:

\( |H \cap X|_{min} = |H| + |X| - |U| = 13 + 10 - 20 = 3 \) человека.

Максимальное количество учеников, посещающих оба кружка:

\( |H \cap X|_{max} = \min(|H|, |X|) = \min(13, 10) = 10 \) человек.

Таким образом, количество учеников, посещающих оба кружка, лежит в диапазоне от 3 до 10 человек.

Рассмотрим утверждения:

1. «Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка». Это неверно, так как минимальное количество посещающих оба кружка равно 3, а общее количество — 20.
2. «Найдутся хотя бы двое учащихся этого класса, кто посещает оба кружка». Это верно, так как минимальное количество учеников, посещающих оба кружка, равно 3, что больше двух.
3. «Каждый, кто посещает исторический кружок, обязательно посещает и химический кружок». Это неверно. Если бы это было так, то \( |H \cap X| = |H| = 13 \). Но максимальное значение \( |H \cap X| = 10 \).
4. «Меньше 11 человек посещают и исторический кружок, и химический кружок». Это верно, так как максимальное количество учеников, посещающих оба кружка, равно 10, что меньше 11.

Ответ: 2, 4.