В классе 22 учащихся. 8 из них после школы ходят в кружок по лепке, а 12 человек посещают изостудию. Выберите верные утверждения и ответьте их номера. 1) Найдётся 2 учащихся, которые не ходят в кружок по лепке и не посещают изостудию. 2) Каждый учащийся, который посещает изостудию, ходит в кружок по лепке. 3) Найдётся 10 учащихся, которые и посещают изостудию, и ходят в кружок по лепке. 4) Меньше 9 учащихся и ходят в кружок по лепке, и посещают изостудию.

Решение:

Всего учащихся: 22.

Ходят в кружок по лепке: 8.

Посещают изостудию: 12.

Проанализируем утверждения:

1. Не ходят в кружок и не посещают изостудию: Всего - (ходят в кружок) - (посещают изостудию) + (ходят в кружок И посещают изостудию). Нам неизвестно, сколько учащихся делают и то, и другое. Обозначим количество учащихся, которые ходят в кружок и посещают изостудию, как 'x'. Тогда: 22 - 8 - 12 + x = 2 + x. Если x=2, то 4 учащихся. Если x=0, то 2 учащихся. Утверждение может быть верным, если x=0.
2. Каждый, кто посещает изостудию, ходит в кружок по лепке: Это значит, что множество учащихся, посещающих изостудию, является подмножеством тех, кто ходит в кружок. То есть, все 12 учащихся изостудии входят в 8 учащихся кружка. Это невозможно, так как 12 > 8. Утверждение неверно.
3. И посещают изостудию, и ходят в кружок: Если 8 ходят в кружок, а 12 в изостудию, то максимальное число тех, кто делает и то, и другое, будет 8 (если все, кто ходит в кружок, также посещают изостудию). Минимальное число тех, кто делает и то, и другое, мы можем найти: 22 - (8 + 12) = 22 - 20 = 2. То есть, если пересечение равно 0, то 2 человека делают и то, и другое. Если 10 человек делают и то, и другое, то 8 + 12 - 10 = 10 учащихся. Это возможно.
4. Меньше 9 учащихся и ходят в кружок по лепке, и посещают изостудию: Как мы нашли в пункте 3, количество учащихся, которые делают и то, и другое, может быть от 2 до 8. Любое число от 2 до 8 меньше 9. Утверждение верно.

Утверждения 1, 3 и 4 могут быть верными в зависимости от количества учащихся, которые делают и то, и другое. Если предположить, что утверждение 1 верно (2 человека не ходят никуда), значит, 22 - 2 = 20 человек чем-то занимаются. Тогда 8 (кружок) + 12 (изо) - x (оба) = 20, откуда x = 0. Если x=0, то утверждение 3 (10 человек) неверно. Если x=2, то утверждение 1 (2 человека) верно, и утверждение 3 (10 человек) неверно. Если x=8, то 22 - 8 = 14. 8 + 12 - 8 = 12. Тогда 22 - 12 = 10 человек не занимаются ничем. Утверждение 1 (2 человека) неверно.

Если следовать логике, что есть определенное количество человек, которые посещают оба кружка (x), и это число не указано, то утверждения 1 и 3 могут быть как верными, так и неверными. Однако, утверждение 4 (меньше 9) всегда верно, так как максимальное пересечение - 8.

Перепроверим, если 2 человека не ходят никуда, значит, 20 занимаются. 8 (кружок) + 12 (изо) - x (оба) = 20. x = 0. Тогда: 1) верно (2 человека). 3) неверно (0 человек). 4) верно (0 < 9).

Если 10 человек посещают изостудию И кружок (утверждение 3), то 8+12-10 = 10. Тогда 22-10 = 12 человек не посещают ничего. Утверждение 1 (2 человека) неверно. Утверждение 4 (меньше 9) неверно (10 не меньше 9).

Если 2 человека занимаются и тем, и другим, то 8+12-2 = 18. Тогда 22-18 = 4 человека не занимаются ничем. Утверждение 1 (2 человека) неверно. Утверждение 3 (10 человек) неверно. Утверждение 4 (меньше 9) верно (2 < 9).

Если 8 человек занимаются и тем, и другим, то 8+12-8 = 12. Тогда 22-12 = 10 человек не занимаются ничем. Утверждение 1 (2 человека) неверно. Утверждение 3 (10 человек) неверно. Утверждение 4 (меньше 9) верно (8 < 9).

Единственное утверждение, которое всегда верно, это 4.

Ответ: 4.