В классе 12 мальчиков и 8 девочек. Учитель проводит устный опрос на первом уроке в учебном году и отвечающих учеников определяет случайный образом. Найди вероятность, что учитель спросит мальчика и девочку, если времени для ответа достаточно для двух учеников.

Решение:

Всего в классе \( 12 + 8 = 20 \) учеников.

Вероятность того, что первый вызванный ученик — мальчик, равна \( P(\text{мальчик}) = \frac{12}{20} \).

После того, как вызвали мальчика, в классе осталось \( 19 \) учеников, из них \( 8 \) девочек.

Вероятность того, что второй вызванный ученик — девочка, равна \( P(\text{девочка | мальчик}) = \frac{8}{19} \).

Вероятность того, что сначала спросят мальчика, а потом девочку, равна произведению этих вероятностей:

\[ P(\text{мальчик и девочка}) = P(\text{мальчик}) \cdot P(\text{девочка | мальчик}) = \frac{12}{20} \cdot \frac{8}{19} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{12}{20} \cdot \frac{8}{19} = \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{19} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 19} = \frac{24}{95} \]

Также возможен вариант, что сначала спросят девочку, а потом мальчика. Вероятность этого:

Вероятность того, что первый вызванный ученик — девочка, равна \( P(\text{девочка}) = \frac{8}{20} \).

После того, как вызвали девочку, в классе осталось \( 19 \) учеников, из них \( 12 \) мальчиков.

Вероятность того, что второй вызванный ученик — мальчик, равна \( P(\text{мальчик | девочка}) = \frac{12}{19} \).

Вероятность того, что сначала спросят девочку, а потом мальчика, равна:

\[ P(\text{девочка и мальчик}) = P(\text{девочка}) \cdot P(\text{мальчик | девочка}) = \frac{8}{20} \cdot \frac{12}{19} = \frac{2}{5} \cdot \frac{12}{19} = \frac{24}{95} \]

Общая вероятность того, что учитель спросит мальчика и девочку (в любом порядке), равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:

\[ P(\text{мальчик и девочка}) = P(\text{мальчик и девочка}) + P(\text{девочка и мальчик}) = \frac{24}{95} + \frac{24}{95} = \frac{48}{95} \]

Ответ: \( \frac{48}{95} \)