В каком слове правописание НН определяется правилом: "В именах существительных пишется столько же букв Н, сколько их пишется в производящей основе"?

Решение:

Проверим, от каких слов образованы существительные и сколько Н в производящей основе.

• 1. умственное — от прилагательного "умственный" (НН).
• 2. современнейших — прилагательное, не существительное.
• 3. жизненных — от прилагательного "жизненный" (НН).
• 4. письменности — от прилагательного "письменный" (НН).

Правило гласит, что в существительных пишется столько же Н, сколько в производящей основе. Это правило применяется к существительным, образованным от прилагательных с НН. Однако, все варианты представляют собой прилагательные. Если предположить, что задание подразумевает существительные, образованные от данных прилагательных, то:

• умственное (от "умственный" - НН) → существительное "умственность" (НН)
• жизненных (от "жизненный" - НН) → существительное "жизненность" (НН)
• письменности (от "письменный" - НН) → существительное "письменность" (НН)

Все эти слова соответствуют правилу. Однако, если смотреть на варианты как на имена существительные, а не прилагательные:

• 1. умственное — прилагательное.
• 2. современнейших — прилагательное.
• 3. жизненных — прилагательное.
• 4. письменности — существительное (от "письменный").

Правило применяется к существительным. Слово "письменность" образовано от "письменный" (НН), следовательно, в существительном "письменность" пишется НН.

Ответ: 4