Разберем каждое предложение, чтобы определить, в каких из них выделенные слова являются производными предлогами.
1. **Мы шли НАВСТРЕЧУ трудностям.**
* В данном предложении "навстречу" является наречием, так как отвечает на вопрос "как?" (шли как? - навстречу). Оно обозначает направление движения. Следовательно, это не производный предлог.
2. **БЛАГОДАРЯ хорошей погоде удалось поработать в саду.**
* Здесь "благодаря" является производным предлогом. Он образован от деепричастия "благодаря" (благодарить). Предлог "благодаря" выражает причину.
3. **СНАЧАЛА появились очертания берега, и мы были в предвкушении встречи с новым.**
* В данном предложении "сначала" является наречием времени, отвечающим на вопрос "когда?" (появились когда? - сначала). Следовательно, это не производный предлог.
4. **Невозможно смотреть ВНИЗ: кружится голова.**
* Здесь "вниз" является наречием места, отвечающим на вопрос "куда?" (смотреть куда? - вниз). Следовательно, это не производный предлог.
Таким образом, только во втором предложении выделенное слово "благодаря" является производным предлогом.
**Ответ: 2)**