В июле 2028 года планируется взять кредит в банке в размере S тысяч рублей на три года. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 70% меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей по кредиту составила 11 502 тысяч рублей. Найдите S. решить с помощью таблицы.

Решение:

Пусть S — первоначальная сумма кредита в тыс. рублей. Обозначим выплаты как x₁, x₂, x₃.

Таблица погашения кредита

По условию, в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 70% меньше долга на июль предыдущего года. Это значит, что остаток долга после выплаты должен составлять 30% от остатка долга до начисления процентов в том году.

• Для 2029 года: \( 1.2(1.2S - x_1) - x_2 = 0.3 \times (1.2S - x_1) \)
• Для 2030 года: \( 1.2(1.2(1.2S - x_1) - x_2) - x_3 = 0.3 \times (1.2(1.2S - x_1) - x_2) \)

И к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью. Это означает, что остаток долга на июль 2030 года после начисления процентов, уменьшенный на выплату \( x_3 \), должен равняться нулю:

\( 1.2(1.2(1.2S - x_1) - x_2) - x_3 = 0 \)

Из первого условия:

\( 1.2(1.2S - x_1) - x_2 = 0.3(1.2S - x_1) \)
\( 0.9(1.2S - x_1) - x_2 = 0 \)
\( x_2 = 0.9(1.2S - x_1) \)

Из второго условия:

\( 1.2(1.2(1.2S - x_1) - x_2) - x_3 = 0.3(1.2(1.2S - x_1) - x_2) \)
\( 0.9(1.2(1.2S - x_1) - x_2) - x_3 = 0 \)
\( x_3 = 0.9(1.2(1.2S - x_1) - x_2) \)

Подставим \( x_2 \) в выражение для \( x_3 \):

\( x_3 = 0.9(1.2(1.2S - x_1) - 0.9(1.2S - x_1)) \)
\( x_3 = 0.9(1.2S - x_1)(1.2 - 0.9) \)
\( x_3 = 0.9(1.2S - x_1)(0.3) \)
\( x_3 = 0.27(1.2S - x_1) \)

Сумма всех платежей: \( x_1 + x_2 + x_3 = 11502 \)

Подставим выражения для \( x_2 \) и \( x_3 \):

\( x_1 + 0.9(1.2S - x_1) + 0.27(1.2S - x_1) = 11502 \)
\( x_1 + (0.9 + 0.27)(1.2S - x_1) = 11502 \)
\( x_1 + 1.17(1.2S - x_1) = 11502 \)
\( x_1 + 1.404S - 1.17x_1 = 11502 \)
\( 1.404S - 0.17x_1 = 11502 \)

Мы также знаем, что остаток долга к июлю 2031 года равен 0:

\( 1.2(1.2(1.2S - x_1) - x_2) - x_3 = 0 \)

Подставим \( x_2 \) и \( x_3 \):

\( 1.2(1.2(1.2S - x_1) - 0.9(1.2S - x_1)) - 0.27(1.2S - x_1) = 0 \)
\( 1.2(0.3(1.2S - x_1)) - 0.27(1.2S - x_1) = 0 \)
\( 0.36(1.2S - x_1) - 0.27(1.2S - x_1) = 0 \)
\( (0.36 - 0.27)(1.2S - x_1) = 0 \)
\( 0.09(1.2S - x_1) = 0 \)

Из этого следует, что \( 1.2S - x_1 = 0 \), значит, \( x_1 = 1.2S \).

Теперь подставим \( x_1 = 1.2S \) в уравнение суммы платежей:

\( 1.404S - 0.17(1.2S) = 11502 \)
\( 1.404S - 0.204S = 11502 \)
\( 1.2S = 11502 \)
\( S = \frac{11502}{1.2} \)
\( S = 9585 \)

Ответ: S = 9585 тысяч рублей.