В идеальном колебательном контуре в момент времени t заряд на обкладках конденсатора равен 1,6 нКл, а сила тока в катушке индуктивности 6 мА. Амплитуда колебаний заряда на конденсаторе равна 2 нКл. Определить амплитуду колебаний силы тока в катушке. Ответ привести с точностью до целых. (1 мА=1⋅10⁻³ А)

Решение:

В идеальном колебательном контуре энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля катушки связаны соотношением:

\[ \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2} = E \text{ (полная энергия)} \]\[ \frac{q_m^2}{2C} = \frac{L I_m^2}{2} = E \]

где \( q \) — заряд на конденсаторе, \( I \) — сила тока в катушке, \( q_m \) — амплитуда заряда, \( I_m \) — амплитуда силы тока, \( C \) — ёмкость конденсатора, \( L \) — индуктивность катушки.

Из равенства энергий получаем:

\[ \frac{q_m^2}{C} = L I_m^2 \]

Также, из равенства максимальных энергий:

\[ \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2} = \frac{q_m^2}{2C} \]

Подставим данные в это уравнение:

\[ \frac{(1.6 \text{ нКл})^2}{2C} + \frac{L(6 \text{ мА})^2}{2} = \frac{(2 \text{ нКл})^2}{2C} \]

Умножим обе части на \( 2C \):

\[ (1.6 \text{ нКл})^2 + \frac{LC}{1} (6 \text{ мА})^2 = (2 \text{ нКл})^2 \]

Перенесем член с \( C \) в правую часть:

\[ L C (6 \text{ мА})^2 = (2 \text{ нКл})^2 - (1.6 \text{ нКл})^2 \]

Вычислим квадраты:

\[ L C (36 \text{ мА}^2) = (4 - 2.56) \text{ (нКл)}^2 \]

\( L C (36 \text{ мА}^2) = 1.44 \text{ (нКл)}^2 \)

Теперь найдем амплитуду силы тока \( I_m \) из уравнения:

\[ \frac{q_m^2}{C} = L I_m^2 \]

Выразим \( L \):

\[ L = \frac{q_m^2}{C I_m^2} \]

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

\[ \frac{q_m^2}{C I_m^2} C (36 \text{ мА}^2) = 1.44 \text{ (нКл)}^2 \]

\( \frac{q_m^2}{I_m^2} (36 \text{ мА}^2) = 1.44 \text{ (нКл)}^2 \)

\( \frac{(2 \text{ нКл})^2}{I_m^2} (36 \text{ мА}^2) = 1.44 \text{ (нКл)}^2 \)

\( \frac{4 \text{ (нКл)}^2}{I_m^2} (36 \text{ мА}^2) = 1.44 \text{ (нКл)}^2 \)

Теперь найдем \( I_m^2 \):

\[ I_m^2 = \frac{4 \times 36}{1.44} \text{ (мА)}^2 \]

\( I_m^2 = \frac{144}{1.44} \text{ (мА)}^2 \)
\( I_m^2 = 100 \text{ (мА)}^2 \)

Извлечем квадратный корень:

\[ I_m = \sqrt{100} \text{ мА} = 10 \text{ мА} \]

Ответ нужно привести с точностью до целых.

Ответ: 10 мА