В идеальном колебательном контуре (см. рис.) напряжение между обкладками конденсатора меняется по закону $$u_C = 10 \cdot \sin(10000t + \pi)$$. Максимальное значение силы тока в контуре $$I_{max} = 0,1$$ А. Определите индуктивность катушки.

Решение:

В идеальном колебательном контуре напряжение на конденсаторе и сила тока связаны соотношением:

\( u_C = U_m \sin(\omega t + \phi) \), где \( U_m \) — максимальное напряжение, \( \omega \) — циклическая частота.

Из данного закона \( u_C = 10 \cdot \sin(10000t + \pi) \) видно, что максимальное напряжение на конденсаторе \( U_m = 10 \) В, а циклическая частота \( \omega = 10000 \) рад/с.

Максимальная сила тока в контуре связана с максимальным напряжением на конденсаторе через сопротивление конденсатора \( X_C \):

\( I_{max} = \frac{U_m}{X_C} \)

где \( X_C = \frac{1}{\omega C} \).

Следовательно, \( I_{max} = U_m \omega C \).

Из этого уравнения найдем ёмкость конденсатора \( C \):

\( C = \frac{I_{max}}{U_m \omega} = \frac{0,1 \text{ А}}{10 \text{ В} \cdot 10000 \text{ рад/с}} = \frac{0,1}{100000} \text{ Ф} = 10^{-6} \text{ Ф} = 1 \text{ мкФ} \).

В идеальном колебательном контуре энергия магнитного поля катушки равна энергии электрического поля конденсатора в момент максимального тока и напряжения:

\( \frac{L I_{max}^2}{2} = \frac{C U_m^2}{2} \)

\( L I_{max}^2 = C U_m^2 \)

Выразим индуктивность катушки \( L \):

\( L = \frac{C U_m^2}{I_{max}^2} \)

Подставим известные значения:

\( L = \frac{10^{-6} \text{ Ф} \cdot (10 \text{ В})^2}{(0,1 \text{ А})^2} = \frac{10^{-6} \cdot 100}{0,01} \text{ Гн} = \frac{10^{-4}}{10^{-2}} \text{ Гн} = 10^{-2} \text{ Гн} = 0,01 \text{ Гн} \).

Другой способ — использовать связь циклической частоты с индуктивностью и ёмкостью:

\( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \)

\( \omega^2 = \frac{1}{LC} \)

\( L = \frac{1}{\omega^2 C} \)

Подставим значения \( \omega = 10000 \) рад/с и \( C = 10^{-6} \) Ф:

\( L = \frac{1}{(10000)^2 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{10^8 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01 \text{ Гн} \).

Ответ: 0,01 Гн.