В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. Найдите массу изотопа через 54 минуты, если в начальный момент его масса составляла 192 мг. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Это задача на радиоактивный распад, где масса уменьшается вдвое за определённый промежуток времени (период полураспада).

1. Определим, сколько периодов полураспада прошло за 54 минуты. Период полураспада = 9 минут. Количество периодов = \( 54 \text{ мин} / 9 \text{ мин/период} = 6 \text{ периодов} \).
2. Начальная масса изотопа = 192 мг.
3. После каждого периода полураспада масса уменьшается вдвое.
4. Рассчитаем массу после 6 периодов:
• После 1 периода: \( 192 \text{ мг} / 2 = 96 \text{ мг} \)
• После 2 периодов: \( 96 \text{ мг} / 2 = 48 \text{ мг} \)
• После 3 периодов: \( 48 \text{ мг} / 2 = 24 \text{ мг} \)
• После 4 периодов: \( 24 \text{ мг} / 2 = 12 \text{ мг} \)
• После 5 периодов: \( 12 \text{ мг} / 2 = 6 \text{ мг} \)
• После 6 периодов: \( 6 \text{ мг} / 2 = 3 \text{ мг} \)
5. Или можно использовать формулу: \( m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \), где \( m(t) \) — масса через время \( t \), \( m_0 \) — начальная масса, \( T \) — период полураспада.
6. Подставим значения: \( m(54) = 192 \text{ мг} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{54}{9}} = 192 \text{ мг} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6} \)
7. \( \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = \frac{1}{64} \)
8. \( m(54) = 192 \text{ мг} \cdot \frac{1}{64} = \frac{192}{64} \text{ мг} = 3 \text{ мг} \)

Ответ: 3 мг.