9. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}), где \(m_0\) - начальная масса изотопа, \(t\) - время, прошедшее от начального момента, \(T\) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 576 мг. Период его полураспада составляет 4 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 9 мг.

Решение:

1. Запишем формулу, по которой происходит уменьшение массы изотопа:

\[m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\]

где:

* \(m\) - текущая масса изотопа (9 мг);
* \(m_0\) - начальная масса изотопа (576 мг);
* \(t\) - время, которое нужно найти;
* \(T\) - период полураспада (4 мин).

2. Подставим известные значения в формулу:

\[9 = 576 \cdot 2^{-\frac{t}{4}}\]

3. Разделим обе части уравнения на 576:

\[\frac{9}{576} = 2^{-\frac{t}{4}}\]

4. Упростим дробь:

\[\frac{1}{64} = 2^{-\frac{t}{4}}\]

5. Представим \(\frac{1}{64}\) как степень числа 2:

\[2^{-6} = 2^{-\frac{t}{4}}\]

6. Так как основания степеней равны, приравняем показатели:

\[-6 = -\frac{t}{4}\]

7. Умножим обе части уравнения на -4:

\[t = 24\]

Ответ: Через 24 минуты масса изотопа будет равна 9 мг.

Ответ: 24 минуты