В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной с жёсткостью \(k\). В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра было равно \(L\), а давление газа в цилиндре было равно внешнему атмосферному давлению \(p_0\) (см. рисунок). Затем газу было передано количество теплоты \(Q\), и в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние \(b\). Чему равна площадь поршня \(S\)?

При медленном движении поршень в каждый момент находится в механическом равновесии. Изначально давления внутри и снаружи равны, поэтому пружина не деформирована.

После перемещения поршня пружина растянута на \(b\). Равновесие поршня даёт для конечного давления газа:

\[p_1S=p_0S+kb,\qquad p_1=p_0+\frac{kb}{S}.\]

Объёмы газа в начальном и конечном состояниях: \(V_0=SL\), \(V_1=S(L+b)\). Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия равна \(U=\frac32pV\), поэтому

\[\Delta U=\frac32(p_1V_1-p_0V_0)=\frac32\bigl(p_0Sb+kb(L+b)\bigr).\]

Работа газа расходуется на работу против атмосферного давления и на растяжение пружины:

\[A=p_0Sb+\frac12kb^2.\]

По первому началу термодинамики \(Q=\Delta U+A\). Подставим выражения:

\[Q=\frac52p_0Sb+\frac32kb(L+b)+\frac12kb^2=\frac52p_0Sb+\frac32kbL+2kb^2.\]

Отсюда

\[\boxed{S=\frac{2Q-kb(3L+4b)}{5p_0b}}.\]