В электрической схеме все резисторы одинаковы (каждый обладает сопротивлением 8 Ом). ЭДС источника тока равно 42 В, внутреннее сопротивление источника равно 1 Ом. Определить мощность, выделяющуюся во внешней цепи? Ответ привести с точностью до целых.

Решение:

Дано:

• Сопротивление каждого резистора \( R = 8 \text{ Ом} \)
• ЭДС источника \( \mathcal{E} = 42 \text{ В} \)
• Внутреннее сопротивление \( r = 1 \text{ Ом} \)

Найти:

• Мощность, выделяющуюся во внешней цепи \( P_{\text{внеш}} \)

Расчёт:

Сначала найдём общее сопротивление внешней цепи. Резисторы \( R_2 \) и \( R_3 \) соединены последовательно, их общее сопротивление \( R_{23} = R_2 + R_3 = 8 \text{ Ом} + 8 \text{ Ом} = 16 \text{ Ом} \).

Затем резисторы \( R_1 \), \( R_{23} \) и \( R_4 \) соединены параллельно. Однако, исходя из схемы, \( R_1 \) подключен последовательно к параллельному соединению \( R_2 \) и \( R_3 \). Далее, этот узел соединен с \( R_4 \), который, в свою очередь, подключен к другому выводу источника. Такая схема может быть интерпретирована следующим образом:

Резисторы \( R_2 \) и \( R_3 \) соединены последовательно, образуя сопротивление \( R_{23} = R + R = 2R = 16 \text{ Ом} \).

Далее, \( R_1 \) и \( R_{23} \) соединены параллельно. Их эквивалентное сопротивление \( R_{123} = \frac{R_1 \cdot R_{23}}{R_1 + R_{23}} = \frac{8 \text{ Ом} \cdot 16 \text{ Ом}}{8 \text{ Ом} + 16 \text{ Ом}} = \frac{128}{24} \text{ Ом} = \frac{16}{3} \text{ Ом} \approx 5.33 \text{ Ом} \).

Резистор \( R_4 \) подключен параллельно к этому соединению \( R_{123} \).

Но более вероятная интерпретация схемы:

Резисторы \( R_2 \) и \( R_3 \) соединены последовательно: \( R_{23} = R + R = 16 \text{ Ом} \).

Резистор \( R_1 \) соединен параллельно с \( R_2 \) и \( R_3 \). То есть, \( R_1 \) параллелен \( R_{23} \) — это неверно, так как \( R_1 \) находится на одной ветке, а \( R_2, R_3 \) на другой.

Прочитаем схему так:

\( R_1 \) и \( R_2 \) соединены последовательно. \( R_3 \) параллелен \( R_2 \). \( R_4 \) последователен всему этому.

Ещё одна интерпретация:

\( R_1 \) и \( R_4 \) соединены последовательно. \( R_2 \) и \( R_3 \) соединены последовательно. Эти две ветки соединены параллельно.

Давайте предположим, что схема изображает:

\( R_2 \) и \( R_3 \) соединены последовательно: \( R_{23} = R + R = 16 \text{ Ом} \).

\( R_1 \) и \( R_4 \) соединены последовательно: \( R_{14} = R + R = 16 \text{ Ом} \).

Эти две ветки (\( R_1, R_4 \) и \( R_2, R_3 \)) соединены параллельно. Тогда общее сопротивление внешней цепи:

\( R_{\text{внеш}} = \frac{R_{14} \cdot R_{23}}{R_{14} + R_{23}} = \frac{16 \text{ Ом} \cdot 16 \text{ Ом}}{16 \text{ Ом} + 16 \text{ Ом}} = \frac{256}{32} \text{ Ом} = 8 \text{ Ом} \).

Тогда общий ток в цепи:

\( I = \frac{\mathcal{E}}{R_{\text{внеш}} + r} = \frac{42 \text{ В}}{8 \text{ Ом} + 1 \text{ Ом}} = \frac{42}{9} \text{ А} = \frac{14}{3} \text{ А} \approx 4.67 \text{ А} \).

Мощность, выделяющаяся во внешней цепи:

\( P_{\text{внеш}} = I^2 R_{\text{внеш}} = \left( \frac{14}{3} \text{ А} \right)^2 \cdot 8 \text{ Ом} = \frac{196}{9} \text{ Вт} \cdot 8 = \frac{1568}{9} \text{ Вт} \approx 174.22 \text{ Вт} \).

Другая интерпретация схемы:

\( R_2 \) и \( R_3 \) соединены последовательно: \( R_{23} = R + R = 16 \text{ Ом} \).

\( R_1 \) соединен последовательно с параллельным соединением \( R_2 \) и \( R_3 \). Это не соответствует схеме.

Верная интерпретация схемы:

Резистор \( R_1 \) соединен последовательно с источником. Затем ток разветвляется на две параллельные ветви: в одной ветви находится \( R_2 \), в другой — \( R_3 \). После этих ветвей ток снова соединяется и проходит через \( R_4 \) и возвращается к источнику.

\( R_2 \) и \( R_3 \) соединены последовательно, их общее сопротивление \( R_{23} = R + R = 16 \text{ Ом} \).

\( R_1 \) и \( R_4 \) соединены последовательно. \( R_{23} \) соединен параллельно с \( R_1 \) и \( R_4 \) вместе взятыми. Это также не так.

Наиболее вероятная интерпретация схемы:

Резистор \( R_1 \) последовательно с источником. Далее, ток разветвляется: одна ветвь — \( R_2 \), другая ветвь — \( R_3 \). Токи из этих ветвей соединяются, и через \( R_4 \) возвращаются к источнику. Таким образом, \( R_1 \) и \( R_4 \) соединены последовательно, и эта пара соединена параллельно с последовательным соединением \( R_2 \) и \( R_3 \).

\( R_1 \) и \( R_4 \) последовательно: \( R_{14} = R + R = 16 \text{ Ом} \).

\( R_2 \) и \( R_3 \) последовательно: \( R_{23} = R + R = 16 \text{ Ом} \).

\( R_{14} \) параллельно \( R_{23} \):

\( R_{\text{внеш}} = \frac{R_{14} \cdot R_{23}}{R_{14} + R_{23}} = \frac{16 \text{ Ом} \cdot 16 \text{ Ом}}{16 \text{ Ом} + 16 \text{ Ом}} = 8 \text{ Ом} \).

Общий ток:

\( I = \frac{\mathcal{E}}{R_{\text{внеш}} + r} = \frac{42 \text{ В}}{8 \text{ Ом} + 1 \text{ Ом}} = \frac{42}{9} \text{ А} = \frac{14}{3} \text{ А} \approx 4.67 \text{ А} \).

Мощность, выделяющаяся во внешней цепи:

\( P_{\text{внеш}} = I^2 R_{\text{внеш}} = \left( \frac{14}{3} \text{ А} \right)^2 \cdot 8 \text{ Ом} = \frac{196}{9} \text{ Вт} \cdot 8 = \frac{1568}{9} \text{ Вт} \approx 174.22 \text{ Вт} \).

Округляем до целых:

\( P_{\text{внеш}} \approx 174 \text{ Вт} \).

Проверим другую интерпретацию:

\( R_1 \) последовательно с источником. Далее ток разветвляется на \( R_2 \) и \( R_3 \), которые соединены параллельно. Затем ток снова собирается и проходит через \( R_4 \).

\( R_2 \) параллельно \( R_3 \): \( R_{23} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{8 \times 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4 \text{ Ом} \).

\( R_1 \), \( R_{23} \) и \( R_4 \) соединены последовательно:

\( R_{\text{внеш}} = R_1 + R_{23} + R_4 = 8 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом} + 8 \text{ Ом} = 20 \text{ Ом} \).

Общий ток:

\( I = \frac{\mathcal{E}}{R_{\text{внеш}} + r} = \frac{42 \text{ В}}{20 \text{ Ом} + 1 \text{ Ом}} = \frac{42}{21} \text{ А} = 2 \text{ А} \).

Мощность, выделяющаяся во внешней цепи:

\( P_{\text{внеш}} = I^2 R_{\text{внеш}} = (2 \text{ А})^2 \times 20 \text{ Ом} = 4 \times 20 = 80 \text{ Вт} \).

Это более вероятная интерпретация схемы. Судя по рисунку, \( R_1 \) и \( R_4 \) находятся на одной