В двух сосудах содержатся растворы уксусной кислоты — в первом сосуде 50%-й раствор, во втором сосуде 25%-й раствор. Из первого сосуда 2 л раствора перелили во второй. Жидкость во втором сосуде перемешали. Затем из второго сосуда 2 л раствора перелили в первый и также перемешали. После этого концентрация раствора в первом сосуде стала 46%. Известно, что в первом сосуде первоначально было 10 литров раствора, тогда во втором сосуде было ... литров. В ответ запишите целое число без единиц измерения.

Решение:

Обозначим начальный объём раствора во втором сосуде как \( x \) литров.

Шаг 1: Переливание из первого сосуда во второй.

В первом сосуде было 10 л 50%-го раствора. В нём было \( 10 \cdot 0.50 = 5 \) л уксусной кислоты.

Перелили 2 л раствора из первого во второй. В этих 2 л кислоты было \( 2 \cdot 0.50 = 1 \) л.

После переливания:

• В первом сосуде осталось: \( 10 - 2 = 8 \) л раствора.
• Кислоты в первом сосуде: \( 5 - 1 = 4 \) л.
• Концентрация в первом сосуде: \( \frac{4}{8} = 0.50 \), или 50%.
• Во втором сосуде стало: \( x + 2 \) л раствора.
• Кислоты во втором сосуде: \( 0.25x + 1 \) л.
• Концентрация во втором сосуде: \( \frac{0.25x + 1}{x + 2} \).

Шаг 2: Переливание из второго сосуда в первый.

Перелили 2 л раствора из второго сосуда в первый.

Концентрация в этих 2 л равна концентрации во втором сосуде: \( \frac{0.25x + 1}{x + 2} \).

Количество кислоты в этих 2 л: \( 2 \cdot \frac{0.25x + 1}{x + 2} = \frac{0.5x + 2}{x + 2} \) л.

После второго переливания:

• В первом сосуде стало: \( 8 + 2 = 10 \) л раствора.
• Кислоты в первом сосуде: \( 4 + \frac{0.5x + 2}{x + 2} \) л.
• Концентрация в первом сосуде стала 46%, то есть 0.46.

Составляем уравнение:

\[ \frac{4 + \frac{0.5x + 2}{x + 2}}{10} = 0.46 \]

Умножаем обе части на 10:

\[ 4 + \frac{0.5x + 2}{x + 2} = 4.6 \]

Вычитаем 4 из обеих частей:

\[ \frac{0.5x + 2}{x + 2} = 0.6 \]

Умножаем обе части на \( x + 2 \):

\[ 0.5x + 2 = 0.6(x + 2) \]

\[ 0.5x + 2 = 0.6x + 1.2 \]

Переносим члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 2 - 1.2 = 0.6x - 0.5x \]

\[ 0.8 = 0.1x \]

Делим обе части на 0.1:

\[ x = \frac{0.8}{0.1} = 8 \]

Таким образом, во втором сосуде первоначально было 8 литров раствора.

Проверка:

Начальные объемы: 10 л (50%), 8 л (25%). Кислоты: 5 л, 2 л.

1. Перелили 2 л из 1-го во 2-й (1 л кислоты). В 1-м: 8 л (4 л кислоты). Во 2-м: 10 л (3 л кислоты). Конц. во 2-м: 30%.

2. Перелили 2 л из 2-го в 1-й (0.3 * 2 = 0.6 л кислоты). В 1-м: 8 + 2 = 10 л (4 + 0.6 = 4.6 л кислоты). Конц. в 1-м: 4.6 / 10 = 0.46, или 46%.

Условие выполнено.

Ответ: 8