В четырёхугольнике ABCD провели диагональ АС. AF - биссектриса треугольника АВС. СЕ – биссектриса тре- угольника АCD. AF ⊥ BC, CE ⊥ AD. AC = 9, AE = CF = 7. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

Разбираемся:

1. Рассмотрим треугольник AFC. Так как AF ⊥ BC и AF - биссектриса, то треугольник ABC - равнобедренный (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника). Следовательно, AB = BC.

2. Рассмотрим треугольник AEC. Так как CE ⊥ AD и CE - биссектриса, то треугольник ACD - равнобедренный (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника). Следовательно, CD = AD.

3. Рассмотрим треугольники AFC и AEC:

   • AF - биссектриса ∠BAC, следовательно ∠BAF = ∠CAF.
   • CE - биссектриса ∠ACD, следовательно ∠DCA = ∠ECA.
   • AC - общая сторона.
   • AE = CF = 7 (по условию).

4. Тогда треугольники AFC и AEC равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Отсюда следует, что AF = CE.

5. Рассмотрим треугольники ABF и CDE:

   • AB = BC (доказано ранее).
   • AD = CD (доказано ранее).
   • AF = CE (доказано ранее).

6. Тогда треугольники ABF и CDE равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников). Отсюда следует, что AB = CD. Так как AB = BC и CD = AD, то AB = BC = CD = AD.

7. Из равенства треугольников AFC и AEC следует, что FC = AE = 7 (по условию). Тогда EC = AC - AE = 9 - 7 = 2.

8. Рассмотрим треугольник AEC. По теореме Пифагора AC² = AE² + EC², отсюда AC = \(\sqrt{AE^2 + EC^2}\) = \(\sqrt{7^2 + 2^2}\) = \(\sqrt{49 + 4}\) = \(\sqrt{53}\).

9. Периметр четырёхугольника ABCD равен P = AB + BC + CD + AD = 4\(\cdot\)AB = 4\(\cdot\)(\(\sqrt{53}\)) = 4\(\sqrt{53}\).

Периметр четырёхугольника ABCD равен 4\(\sqrt{53}\).