В четырёхугольнике ABCD известно, что AB: BC: CD = 3:4:5. Сторона AD на 2 больше стороны AB. Площадь четырёхугольника ABCD равна 84. Найдите радиус окружности, вписанной в ABCD. При решении задания необходимо сделать рисунок.

Решение:

Пусть коэффициент пропорциональности равен \(x\). Тогда стороны четырёхугольника равны:

• \( AB = 3x \)
• \( BC = 4x \)
• \( CD = 5x \)
• \( AD = AB + 2 = 3x + 2 \)

Для того чтобы в четырёхугольник можно было вписать окружность, сумма противоположных сторон должна быть равной: \( AB + CD = BC + AD \).

Подставим значения сторон:

\( 3x + 5x = 4x + (3x + 2) \)

\( 8x = 7x + 2 \)

\( 8x - 7x = 2 \)

\( x = 2 \)

Теперь найдём длины сторон:

• \( AB = 3 \cdot 2 = 6 \)
• \( BC = 4 \cdot 2 = 8 \)
• \( CD = 5 \cdot 2 = 10 \)
• \( AD = 6 + 2 = 8 \)

Проверим условие вписанной окружности: \( 6 + 10 = 16 \) и \( 8 + 8 = 16 \). Условие выполняется.

Площадь четырёхугольника, в который можно вписать окружность, равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр. Формула площади Брахмагупты применительно к четырёхугольнику с вписанной окружностью упрощается. Однако, если четырёхугольник является вписанным в окружность, его площадь может быть вычислена по формуле Брахмагупты. В данном случае, если четырёхугольник является описанным, то его площадь можно найти как \( S = rs \), где \( r \) — радиус вписанной окружности, а \( s \) — полупериметр.

Периметр четырёхугольника:

\( P = AB + BC + CD + AD = 6 + 8 + 10 + 8 = 32 \)

Полупериметр:

\( s = \frac{P}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)

Площадь четырёхугольника дана как 84.

Используем формулу площади для описанного четырёхугольника: \( S = rs \).

\( 84 = r \cdot 16 \)

\( r = \frac{84}{16} \)

\( r = \frac{21}{4} \)

\( r = 5.25 \)

Рисунок:

Ответ: радиус вписанной окружности равен 5.25.