1. В арифметической прогрессии (ад) найдите: а) п и ап, если а₁ = −12, d = 1,5, S₁ = 13,5; б) п и а₁, если а„ = −7,5, d = -2,5, S₁ = 75.

Ответ: a) n = 3, aₙ = -9; б) n = 12, a₁ = 37.5

Решение:

а) Дано:

• a₁ = -12
• d = 1.5
• Sₙ = 13.5

Найти: n, aₙ

Используем формулу суммы арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \]

Подставляем известные значения:

\[ 13.5 = \frac{2(-12) + (n-1)1.5}{2} \cdot n \]

Решаем уравнение относительно n:

\[ 27 = (-24 + 1.5n - 1.5) \cdot n \] \[ 27 = -25.5n + 1.5n^2 \] \[ 1.5n^2 - 25.5n - 27 = 0 \]

Делим на 1.5:

\[ n^2 - 17n - 18 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D = (-17)^2 - 4(1)(-18) = 289 + 72 = 361 \] \[ n_1 = \frac{17 + \sqrt{361}}{2} = \frac{17 + 19}{2} = \frac{36}{2} = 18 \] \[ n_2 = \frac{17 - \sqrt{361}}{2} = \frac{17 - 19}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Так как n должно быть положительным целым числом, выбираем n = 18.

Теперь найдем aₙ, используя формулу n-го члена:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \] \[ a_{18} = -12 + (18-1)1.5 \] \[ a_{18} = -12 + 17 \cdot 1.5 \] \[ a_{18} = -12 + 25.5 = 13.5 \]

Проверка:

\[ S_{18} = \frac{a_1 + a_{18}}{2} \cdot 18 = \frac{-12 + 13.5}{2} \cdot 18 = \frac{1.5}{2} \cdot 18 = 1.5 \cdot 9 = 13.5 \]

б) Дано:

• aₙ = -7.5
• d = -2.5
• Sₙ = 75

Найти: n, a₁

Используем формулу суммы арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

Подставляем известные значения:

\[ 75 = \frac{a_1 - 7.5}{2} \cdot n \]

Выражаем n:

\[ n = \frac{150}{a_1 - 7.5} \]

Используем формулу n-го члена:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \] \[ -7.5 = a_1 + (n-1)(-2.5) \]

Подставляем n:

\[ -7.5 = a_1 + (\frac{150}{a_1 - 7.5} - 1)(-2.5) \]

Упрощаем и решаем уравнение относительно a₁:

\[ -7.5 = a_1 - \frac{375}{a_1 - 7.5} + 2.5 \] \[ -10 = a_1 - \frac{375}{a_1 - 7.5} \] \[ -10(a_1 - 7.5) = a_1(a_1 - 7.5) - 375 \] \[ -10a_1 + 75 = a_1^2 - 7.5a_1 - 375 \] \[ a_1^2 + 2.5a_1 - 450 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D = (2.5)^2 - 4(1)(-450) = 6.25 + 1800 = 1806.25 \] \[ a_{1_1} = \frac{-2.5 + \sqrt{1806.25}}{2} = \frac{-2.5 + 42.5}{2} = \frac{40}{2} = 20 \] \[ a_{1_2} = \frac{-2.5 - \sqrt{1806.25}}{2} = \frac{-2.5 - 42.5}{2} = \frac{-45}{2} = -22.5 \]

Если a₁ = 20:

\[ n = \frac{150}{20 - 7.5} = \frac{150}{12.5} = 12 \]

Если a₁ = -22.5:

\[ n = \frac{150}{-22.5 - 7.5} = \frac{150}{-30} = -5 \]

Так как n должно быть положительным числом, выбираем a₁ = 20 и n = 12.

Проверка:

\[ S_{12} = \frac{20 - 7.5}{2} \cdot 12 = \frac{12.5}{2} \cdot 12 = 12.5 \cdot 6 = 75 \]

Ответ: a) n = 18, a₁₈ = 13.5; б) n = 12, a₁ = 20