10. В аквацентре, который расположен в городе Гродно, один из бассейнов можно заполнять через две трубы, причем заполнение до максимальной метки через вторую – на 5 часов быстрее, чем через первую. Заполнение бассейна через обе трубы одновременно продолжается не более 6 часов. За какое наибольшее количество часов можно заполнить бассейн через вторую трубу?

Пусть $$x$$ – время, за которое первая труба заполняет бассейн, а $$y$$ – время, за которое вторая труба заполняет бассейн. По условию, $$y = x - 5$$. Производительность первой трубы равна $$\frac{1}{x}$$, а производительность второй трубы равна $$\frac{1}{y}$$. Когда обе трубы работают вместе, их общая производительность равна $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$$. Известно, что при совместной работе обе трубы заполняют бассейн не более чем за 6 часов. Значит, \begin{equation*} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{1}{6} \end{equation*} Подставим $$y = x - 5$$ в это неравенство: \begin{equation*} \frac{1}{x} + \frac{1}{x-5} \ge \frac{1}{6} \end{equation*} Приведем к общему знаменателю: \begin{equation*} \frac{x-5+x}{x(x-5)} \ge \frac{1}{6} \end{equation*} \begin{equation*} \frac{2x-5}{x^2-5x} \ge \frac{1}{6} \end{equation*} \begin{equation*} 6(2x-5) \ge x^2-5x \end{equation*} \begin{equation*} 12x - 30 \ge x^2 - 5x \end{equation*} \begin{equation*} x^2 - 17x + 30 \le 0 \end{equation*} Решим квадратное уравнение $$x^2 - 17x + 30 = 0$$. Его корни: \begin{equation*} D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169 \end{equation*} \begin{equation*} x_1 = \frac{17 + \sqrt{169}}{2} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \end{equation*} \begin{equation*} x_2 = \frac{17 - \sqrt{169}}{2} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \end{equation*} Таким образом, $$2 \le x \le 15$$. Поскольку $$y = x - 5$$, и нам нужно наибольшее значение $$y$$, то $$x = 15$$, и $$y = 15 - 5 = 10$$. Ответ: 10 часов