Установите соответствие между искомой физической величиной и формулой для ее расчета.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания из области теплообмена.

Первый случай: нужно определить, на сколько нагрелась жидкость массой $$m_1$$ и температурой $$t_1$$ после смешивания с жидкостью массой $$m_2$$ и температурой $$t_2$$. При тепловом равновесии количество теплоты, отданное более горячей жидкостью, равно количеству теплоты, полученному более холодной жидкостью. Предположим, что $$t_2 > t_1$$. Тогда, если $$\Delta t_1$$ - это изменение температуры первой жидкости, а $$\Delta t_2$$ - изменение температуры второй жидкости, то можно записать уравнение теплового баланса:

$$m_1 \Delta t_1 = m_2 \Delta t_2$$

Так как нас интересует, на сколько нагрелась жидкость массой $$m_1$$, то ищем $$\Delta t_1$$. Если $$T$$ - конечная температура смеси, то $$\Delta t_1 = T - t_1$$, а $$\Delta t_2 = t_2 - T$$. Уравнение теплового баланса принимает вид:

$$m_1 (T - t_1) = m_2 (t_2 - T)$$

Раскрываем скобки:

$$m_1 T - m_1 t_1 = m_2 t_2 - m_2 T$$

Переносим члены с $$T$$ в одну сторону, а остальные в другую:

$$m_1 T + m_2 T = m_2 t_2 + m_1 t_1$$

Выносим $$T$$ за скобки:

$$T (m_1 + m_2) = m_1 t_1 + m_2 t_2$$

Выражаем $$T$$:

$$T = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2}$$

Теперь выразим $$\Delta t_1 = T - t_1$$. Подставляем выражение для $$T$$:

$$\Delta t_1 = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2} - t_1 = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2 - t_1 (m_1 + m_2)}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2 - m_1 t_1 - m_2 t_1}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 (t_2 - t_1)}{m_1 + m_2}$$

Второй случай: нужно определить установившуюся температуру после смешивания жидкостей. Мы уже вывели формулу для конечной температуры $$T$$ при тепловом равновесии:

$$T = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2}$$

Теперь установим соответствие:

1. На сколько нагрелась жидкость массой $$m_1$$: $$\frac{m_2 (t_2 - t_1)}{m_1 + m_2}$$
2. Установившаяся температура: $$\frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2}$$