ус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 48. Найти объем конуса.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус шара, \( r \) — радиус основания конуса, \( H \) — высота конуса.

По условию, радиус основания конуса равен радиусу шара, то есть \( r = R \).

Объем шара вычисляется по формуле \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \).

Объем конуса вычисляется по формуле \( V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi r^2 H \).

Так как \( r = R \), то \( V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H \).

Отношение объемов шара и конуса:

\[ \frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{конуса}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{1}{3}\pi R^2 H} = \frac{4 R}{H} \]

В данном случае, конус вписан в шар. Рассмотрим осевое сечение конуса и шара. Это будет равнобедренный треугольник, вписанный в окружность.

Высота конуса \( H \) может быть разной. Максимальная высота конуса, вписанного в шар, равна диаметру шара \( 2R \). В этом случае \( H = 2R \) и \( r = 0 \), что не является конусом.

Если радиус основания конуса равен радиусу шара, \( r = R \), это означает, что вершина конуса находится на экваторе шара, если центр шара лежит на оси конуса. Высота такого конуса будет равна радиусу шара: \( H = R \).

Подставим \( H = R \) и \( r = R \) в формулу объема конуса:

\[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi R^2 × R = \frac{1}{3}\pi R^3 \]

Объем шара равен 48:

\[ \frac{4}{3}\pi R^3 = 48 \]

Найдем \( \frac{1}{3}\pi R^3 \):

\[ \frac{1}{3}\pi R^3 = \frac{48}{4} = 12 \]

Следовательно, объем конуса равен 12.

Ответ: 12.