Урок 50. Контрольная работа № 4 по теме «Применение теории подобия к решению задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника» 1 уровень сложности Вариант 1 1. Средние линии треугольника относятся как 2:3: 4, а пе- риметр треугольника равен 45 см. Найдите стороны треуголь- ника. 2. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне АС и пересе- кающая стороны АВ и ВС в точках Е и соответственно. Найдите EF, если сторона АС равна 15 см. 3. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C= 90°) AC = 5 см, ВС = 5√3 см. Найдите угол в и гипотенузу АВ. 4. В треугольнике ABC LA = a, ∠C= В, сторона ВС = 7 см, ВН - высота. Найдите AH. 5*. В трапеции ABCD продолжения боковых сторон пересека- ются в точке К, причем точка В - середина отрезка АК. Найдите сумму оснований трапеции, если AD = 12 см. II уровень сложности Вариант 1 1. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка D так, что BD: DC = 3: 2, точка К - середина отрезка АВ, точка F - сере- дина отрезка AD, KF = 6 см, ∠ADC = 100°. Найдите ВС и LAFK. 2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C= 90°, АС = 4 см, СВ = 4√3 см, СМ - медиана. Найдите угол ВСМ. 3. В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 12 см, меньший угол равен с. Найдите периметр и площадь трапеции. 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если ОА = 13 см, ОВ = 10 см. 5*. В трапеции ABCD (BC || AD) AB 1 BD, BD = 2√5. AD=2√10, CE - высота треугольника BCD, a tg ∠ECD = 3. Най- дите ВЕ.

Ответ: Решение ниже

I уровень сложности

Вариант 1

1. Пусть средние линии треугольника равны 2x, 3x и 4x. Периметр треугольника равен сумме этих средних линий, умноженной на 2, так как каждая средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна. Тогда: \[2(2x + 3x + 4x) = 45\] \[18x = 45\] \[x = \frac{45}{18} = \frac{5}{2} = 2.5\]

   Стороны треугольника равны: \[a = 2 \cdot 3x = 6x = 6 \cdot 2.5 = 15 \text{ см}\] \[b = 2 \cdot 2x = 4x = 4 \cdot 2.5 = 10 \text{ см}\] \[c = 2 \cdot 4x = 8x = 8 \cdot 2.5 = 20 \text{ см}\]

   Ответ: Стороны треугольника: 15 см, 10 см, 20 см.

2. Так как EF параллельна AC, треугольники BEF и BAC подобны. Медианы треугольника пересекаются в точке O, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, BO = (2/3) * медиана, проведенная к стороне AC.

   Поскольку EF || AC, то \(\frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC} = \frac{2}{3}\). Следовательно, EF составляет \(\frac{2}{3}\) от AC.

   Тогда, \(EF = \frac{2}{3} \cdot AC = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10 \text{ см}\)

   Ответ: EF = 10 см.

3. В прямоугольном треугольнике ABC с \(\angle C = 90^\circ\), дано AC = 5 см, BC = 5√3 см. Найдём угол B и гипотенузу AB.

   Используем тангенс угла B: \(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) Значит, \(\angle B = 30^\circ\)

   По теореме Пифагора, \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = 5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100\). Следовательно, \(AB = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\)

   Ответ: \(\angle B = 30^\circ\), AB = 10 см.

4. В треугольнике ABC, \(\angle A = \alpha\), \(\angle C = \beta\), BC = 7 см, BH - высота. Нужно найти AH.

   В прямоугольном треугольнике BHC: \(CH = BC \cdot \cos \beta = 7 \cos \beta\). Тогда, \(AH = AC - CH\). Но так как AC неизвестно, нужно выразить AC через известные данные.

   Известно, что \(\angle A = \alpha\), \(\angle C = \beta\). Тогда, \(\angle B = 180^\circ - \alpha - \beta\)

   Применим теорему синусов: \(\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\), откуда \(AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{7 \cdot \sin (180^\circ - \alpha - \beta)}{\sin \alpha} = \frac{7 \cdot \sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha}\)

   В прямоугольном треугольнике BHC, \(CH = BC \cdot \cos \beta = 7 \cos \beta\)

   Тогда, \(AH = AC - CH = \frac{7 \cdot \sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha} - 7 \cos \beta\)

   Ответ: \(AH = \frac{7 \cdot \sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha} - 7 \cos \beta\)

5. В трапеции ABCD продолжения боковых сторон пересекаются в точке K, B - середина AK, AD = 12 см. Найти сумму оснований трапеции.

   Так как B - середина AK, то AB = BK. Треугольники BCK и ADK подобны. Пусть BC = x. Тогда \(\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{AK} = \frac{1}{2}\), следовательно, \(\frac{x}{12} = \frac{1}{2}\), откуда x = 6 см.

   Сумма оснований трапеции: AD + BC = 12 + 6 = 18 см.

   Ответ: Сумма оснований трапеции равна 18 см.

II уровень сложности

Вариант 1

1. На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D так, что BD:DC = 3:2, точка K - середина отрезка AB, точка F - середина отрезка AD, KF = 6 см, ∠ADC = 100°. Найдите BC и ∠AFK.

   Пусть BD = 3x, DC = 2x, тогда BC = BD + DC = 5x. Поскольку KF - средняя линия треугольника ABD, то KF || BD и KF = (1/2)BD. Значит, 6 = (1/2) * 3x, откуда 3x = 12, и x = 4. Тогда BC = 5x = 5 * 4 = 20 см.

   Так как KF || BC, то \(\angle AFK = \angle ADB\), а \(\angle ADC = 100^\circ\). Тогда \(\angle BDC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\). Значит, \(\angle ADB = 100^\circ\), и \(\angle AFK = 100^\circ\)

   Ответ: BC = 20 см, \(\angle AFK = 100^\circ\)

2. В прямоугольном треугольнике ABC \(\angle C = 90^\circ\), AC = 4 см, CB = 4√3 см, CM - медиана. Найдите угол BCM.

   Так как CM - медиана, то AM = MB. Значит, CM = AM = MB = AB/2. Найдем AB по теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64\). Тогда AB = 8 см. Следовательно, CM = 4 см.

   Рассмотрим треугольник CMB. Он равнобедренный (CM = MB). \(\sin \angle B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\), значит, \(\angle B = 30^\circ\). Так как треугольник CMB равнобедренный, то \(\angle BCM = \angle B = 30^\circ\)

   Ответ: \(\angle BCM = 30^\circ\)

3. В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 12 см, меньший угол равен α. Найдите периметр и площадь трапеции.

   Обозначим основания трапеции как a = 12 см и b = 8 см. Пусть боковая сторона равна c. Высота трапеции равна h. Разность оснований равна 12 - 8 = 4 см. Тогда половина разности оснований равна 2 см. \(\cos \alpha = \frac{2}{c}\), откуда \(c = \frac{2}{\cos \alpha}\). Периметр равен \(P = a + b + 2c = 12 + 8 + \frac{4}{\cos \alpha} = 20 + \frac{4}{\cos \alpha}\)

   Высота трапеции \(h = c \cdot \sin \alpha = \frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha} = 2 \tan \alpha\). Площадь трапеции \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{12+8}{2} \cdot 2 \tan \alpha = 20 \tan \alpha\)

   Ответ: Периметр: \(20 + \frac{4}{\cos \alpha}\) см, Площадь: \(20 \tan \alpha\) см².

4. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC медианы пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если OA = 13 см, OB = 10 см.

   Пусть медианы, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке O. Тогда OA = 13 см, OB = 10 см. Медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, медиана, проведенная к боковой стороне, равна \(\frac{3}{2} \cdot 10 = 15\) см. Медиана, проведенная к основанию AC, равна \(\frac{3}{2} \cdot 13 = 19.5\) см. Площадь треугольника не может быть найдена только по медианам, нужны дополнительные условия.

   Невозможно определить площадь треугольника ABC, исходя только из этих данных.

   Ответ: Недостаточно данных для определения площади треугольника.

5. В трапеции ABCD (BC || AD), AB ⊥ BD, BD = 2√5, AD = 2√10, CE - высота треугольника BCD, a tg ∠ECD = 3. Найдите BE.

   В прямоугольном треугольнике ABD: \(AB^2 = AD^2 - BD^2 = (2\sqrt{10})^2 - (2\sqrt{5})^2 = 40 - 20 = 20\). Значит, AB = 2√5.

   Поскольку AB = BD, треугольник ABD равнобедренный, и \(\angle A = \angle ADB = 45^\circ\). Тогда \(\angle ABD = 90^\circ\).

   Пусть DC = x. В треугольнике CDE, \(\angle ECD = \arctan(3)\), то есть \(tg \angle ECD = 3 = \frac{DE}{CE}\). В прямоугольном треугольнике BDC, CD = x, BD = 2√5, BC || AD, AB ⊥ BD, значит трапеция прямоугольная. Пусть CE = h, DE = 3h, тогда DC = \(\sqrt{(3h)^2 + h^2} = \sqrt{10h^2} = h\sqrt{10} = x\).

   Если \( \angle ADB = 45\), то \(\angle DBC = 45\), то есть треугольник BDC - прямоугольный и равнобедренный, а значит BD = DC = 2√5, CE - высота. По условию \(tg \angle ECD = 3 = \frac{DE}{CE}\).

   Рассмотрим прямоугольный треугольник EDC: \(tg \angle ECD = \frac{DE}{EC} = 3\), пусть EC = y, тогда DE = 3y, DC = \(\sqrt{y^2 + 9y^2} = y\sqrt{10} = 2\sqrt{5}\), то есть \(y = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{2}\). DE = \(3\sqrt{2}\)

   BE = BD - DE = \(2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}\)

   Ответ: \(2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}\)

Ответ: Решение выше