923. Упростите выражение: a) (tg a+ctg a) (1+cos x) (1 - cos a); 6) (sin a + cos x)² -1, ctg a-sin a cos a B) sin⁴ a + sin² a cos² a + cos² a; r) sin² a + sin² a cos² a + cos⁴ a. 924. Докажите, что равенство является тождеством: tg² a-sin² a a) = tg⁶ a; ctg² a-cos² a 6) tgp =sin² β; tg β+ctg β 925. Докажите тождество: a) cos⁴ y - sin⁴ y = 1 - 2 sin² γ; 1-2 sin² a б) sin a cos a -=ctg a-tg a;

а) (tg α + ctg α) (1 + cos α) (1 - cos α)

Преобразуем выражение:

• Вспомним, что tg α = sin α / cos α и ctg α = cos α / sin α.
• Тогда tg α + ctg α = (sin α / cos α) + (cos α / sin α) = (sin² α + cos² α) / (sin α cos α) = 1 / (sin α cos α).
• Также (1 + cos α) (1 - cos α) = 1 - cos² α = sin² α.
• Итоговое выражение: (1 / (sin α cos α)) * sin² α = sin α / cos α = tg α.

Ответ: tg α

б) (sin α + cos α)² - 1 / (ctg α - sin α cos α)

Преобразуем выражение:

• Раскроем квадрат: (sin α + cos α)² = sin² α + 2sin α cos α + cos² α = 1 + 2sin α cos α.
• Тогда (sin α + cos α)² - 1 = 2sin α cos α.
• ctg α - sin α cos α = (cos α / sin α) - sin α cos α = (cos α - sin² α cos α) / sin α = cos α (1 - sin² α) / sin α = cos³ α / sin α.
• Итоговое выражение: (2sin α cos α) / (cos³ α / sin α) = 2sin² α cos α / cos³ α = 2sin² α / cos² α = 2tg² α.

Ответ: 2tg² α

в) sin⁴ α + sin² α cos² α + cos² α

Преобразуем выражение:

• sin⁴ α + sin² α cos² α + cos² α = sin⁴ α + sin² α cos² α + cos² α (sin² α + cos² α) = sin⁴ α + sin² α cos² α + sin² α cos² α + cos⁴ α = sin⁴ α + 2sin² α cos² α + cos⁴ α = (sin² α + cos² α)² = 1².

Ответ: 1

г) sin² α + sin² α cos² α + cos⁴ α

Преобразуем выражение:

• sin² α + sin² α cos² α + cos⁴ α = sin² α (sin² α + cos² α) + cos⁴ α = sin² α + cos⁴ α = sin² α + cos⁴ α = sin² α + cos² α (cos² α) = sin² α + cos² α (1 - sin² α) = sin² α + cos² α - cos² α sin² α = 1-cos² α sin² α.

Ответ: sin² α + cos⁴ α = 1-cos² α sin² α

а) (tg² α - sin² α) / (ctg² α - cos² α) = tg⁶ α

Преобразуем левую часть:

• tg² α - sin² α = (sin² α / cos² α) - sin² α = sin² α (1 - cos² α) / cos² α = sin⁴ α / cos² α.
• ctg² α - cos² α = (cos² α / sin² α) - cos² α = cos² α (1 - sin² α) / sin² α = cos⁴ α / sin² α.
• (sin⁴ α / cos² α) / (cos⁴ α / sin² α) = sin⁶ α / cos⁶ α = tg⁶ α.

Тождество доказано.

б) tg β / (tg β + ctg β) = sin² β

Преобразуем левую часть:

• tg β + ctg β = (sin β / cos β) + (cos β / sin β) = (sin² β + cos² β) / (sin β cos β) = 1 / (sin β cos β).
• tg β / (1 / (sin β cos β)) = (sin β / cos β) * (sin β cos β) = sin² β.

Тождество доказано.

а) cos⁴ γ - sin⁴ γ = 1 - 2 sin² γ

Преобразуем левую часть:

• cos⁴ γ - sin⁴ γ = (cos² γ + sin² γ) (cos² γ - sin² γ) = cos² γ - sin² γ.
• cos² γ - sin² γ = (1 - sin² γ) - sin² γ = 1 - 2sin² γ.

Тождество доказано.

б) (1 - 2 sin² α) / (sin α cos α) = ctg α - tg α

Преобразуем правую часть:

• ctg α - tg α = (cos α / sin α) - (sin α / cos α) = (cos² α - sin² α) / (sin α cos α).
• cos² α - sin² α = (1 - sin² α) - sin² α = 1 - 2sin² α.
• (1 - 2 sin² α) / (sin α cos α) = (cos² α - sin² α) / (sin α cos α).

Тождество доказано.