Упростите выражение: (x/y - y/x) / (x/y + y/x - 2) * (x - y)

Привет! Давай вместе упростим это выражение. Это похоже на задачу из алгебры, так что применяем Протокол 3.1.

Исходное выражение:

• \[ \frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2} \times (x - y) \]

Шаг 1: Приводим числитель к общему знаменателю.

• \[ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x imes x - y imes y}{y imes x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \]

Шаг 2: Приводим знаменатель дроби к общему знаменателю.

• \[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2 = \frac{x imes x + y imes y - 2 imes xy}{xy} = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy} \]

Шаг 3: Теперь подставим полученные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение.

• \[ \frac{\frac{x^2 - y^2}{xy}}{\frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy}} \times (x - y) \]

Шаг 4: Упрощаем дробь, умножая числитель на перевернутый знаменатель.

• \[ \frac{x^2 - y^2}{xy} imes \frac{xy}{x^2 + y^2 - 2xy} \times (x - y) \]

Шаг 5: Сокращаем xy.

• \[ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 - 2xy} imes (x - y) \]

Шаг 6: Замечаем формулы сокращенного умножения.

• Числитель: x^2 - y^2 это разность квадратов, равная (x - y)(x + y).
• Знаменатель: x^2 + y^2 - 2xy это квадрат разности, равный (x - y)^2.

Шаг 7: Подставляем обратно.

• \[ \frac{(x - y)(x + y)}{(x - y)^2} imes (x - y) \]

Шаг 8: Сокращаем (x - y).

• \[ \frac{\cancel{(x - y)}(x + y)}{\cancel{(x - y)}(x - y)} imes \cancel{(x - y)} \]
• \[ \frac{x + y}{x - y} imes (x - y) \]

Шаг 9: Сокращаем (x - y) еще раз.

• \[ \frac{x + y}{\cancel{x - y}} imes \cancel{(x - y)} \]
• \[ x + y \]

Ответ:

Ответ: x + y