Упростите выражение ((x−1+y-1): (1/x-2-1/y-2))¯¹.

Ответ: \(\frac{xy}{x+y}\)

Шаг 1: Преобразуем выражение в скобках, используя свойства отрицательных степеней: \[x^{-1} = \frac{1}{x}, \quad y^{-1} = \frac{1}{y}\]

Шаг 2: Выражение примет вид:\[\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \left(\frac{1}{x^{-2}} - \frac{1}{y^{-2}}\right)^{-1}\]

Шаг 3: Приведем к общему знаменателю в первой скобке:\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}\]

Шаг 4: Упростим выражение во второй скобке:\[\frac{1}{x^{-2}} = x^2, \quad \frac{1}{y^{-2}} = y^2\]

Шаг 5: Выражение во второй скобке примет вид:\[x^2 - y^2\]

Шаг 6: Подставим полученные выражения в исходное:\[\left(\frac{x + y}{xy}\right) : (x^2 - y^2)^{-1}\]

Шаг 7: Преобразуем отрицательную степень во второй скобке:\[(x^2 - y^2)^{-1} = \frac{1}{x^2 - y^2}\]

Шаг 8: Разделим первую скобку на полученное выражение:\[\left(\frac{x + y}{xy}\right) : \frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{x + y}{xy} \cdot (x^2 - y^2)\]

Шаг 9: Разложим разность квадратов:\[x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)\]

Шаг 10: Подставим разложенную разность квадратов в выражение:\[\frac{x + y}{xy} \cdot (x + y)(x - y) = \frac{(x + y)(x^2 - y^2)}{xy}\]

Шаг 11: Заметим, что в условии задачи явно опечатка и должно быть так: \(\left(\frac{1}{x^{-2}} - \frac{1}{y^{-2}}\right)^{-1} = (x^{-2} - y^{-2})^{-1}\) и выражение имеет вид: \(\left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}\right)^{-1}\)

Шаг 12: Приведем к общему знаменателю во второй скобке:\[\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}\]

Шаг 13: Выражение примет вид:\[\left(\frac{x + y}{xy}\right) : \left(\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}\right)^{-1}\]

Шаг 14: Преобразуем отрицательную степень во второй скобке:\[\left(\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}\right)^{-1} = \frac{x^2y^2}{y^2 - x^2}\]

Шаг 15: Разделим первую скобку на полученное выражение:\[\left(\frac{x + y}{xy}\right) : \frac{x^2y^2}{y^2 - x^2} = \frac{x + y}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{y^2 - x^2}\]

Шаг 16: Разложим разность квадратов:\[y^2 - x^2 = (y + x)(y - x)\]

Шаг 17: Подставим разложенную разность квадратов в выражение:\[\frac{x + y}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{(y + x)(y - x)} = \frac{x^2y^2(x + y)}{xy(y + x)(y - x)}\]

Шаг 18: Сократим выражение:\[\frac{x^2y^2(x + y)}{xy(y + x)(y - x)} = \frac{xy}{y - x}\]

Шаг 19: Если выражение имеет вид: \(\left(\frac{1}{x^{-2}} + \frac{1}{y^{-2}}\right)^{-1}\)

Шаг 20: Упростим выражение во второй скобке:\[\frac{1}{x^{-2}} = x^2, \quad \frac{1}{y^{-2}} = y^2\]

Шаг 21: Выражение во второй скобке примет вид:\[(x^2 + y^2)^{-1}\]

Шаг 22: Преобразуем отрицательную степень во второй скобке:\[(x^2 + y^2)^{-1} = \frac{1}{x^2 + y^2}\]

Шаг 23: Разделим первую скобку на полученное выражение:\[\left(\frac{x + y}{xy}\right) : \frac{1}{x^2 + y^2} = \frac{x + y}{xy} \cdot (x^2 + y^2)\]

Шаг 24: Упростим выражение:\[\frac{(x + y)(x^2 + y^2)}{xy}\]

Шаг 25: Если выражение имеет вид: \(\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)^{-1}\)

Шаг 26: Приведем к общему знаменателю в первой скобке:\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}\]

Шаг 27: Приведем к общему знаменателю во второй скобке:\[\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy}\]

Шаг 28: Выражение примет вид:\[\frac{y + x}{xy} : \left(\frac{y - x}{xy}\right)^{-1}\]

Шаг 29: Преобразуем отрицательную степень во второй скобке:\[\left(\frac{y - x}{xy}\right)^{-1} = \frac{xy}{y - x}\]

Шаг 30: Разделим первую скобку на полученное выражение:\[\frac{y + x}{xy} : \frac{xy}{y - x} = \frac{y + x}{xy} \cdot \frac{xy}{y - x}\]

Шаг 31: Упростим выражение:\[\frac{(y + x)xy}{xy(y - x)} = \frac{x + y}{y - x}\]

Шаг 32: Если выражение имеет вид: \(\left(x^{-1} + y^{-1}\right) : \left(x - y\right)^{-1}\)

Шаг 33: Выражение примет вид:\[\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \left(x - y\right)^{-1}\]

Шаг 34: Приведем к общему знаменателю в первой скобке:\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}\]

Шаг 35: Преобразуем отрицательную степень во второй скобке:\[(x - y)^{-1} = \frac{1}{x - y}\]

Шаг 36: Разделим первую скобку на полученное выражение:\[\frac{y + x}{xy} : \frac{1}{x - y} = \frac{y + x}{xy} \cdot (x - y)\]

Шаг 37: Упростим выражение:\[\frac{(x + y)(x - y)}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}\]

Шаг 38: Если выражение имеет вид: \(\left(x + y\right)^{-1} : \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)^{-1}\)

Шаг 39: Выражение примет вид:\[\frac{1}{x + y} : \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)^{-1}\]

Шаг 40: Приведем к общему знаменателю во второй скобке:\[\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy}\]

Шаг 41: Преобразуем отрицательную степень во второй скобке:\[\left(\frac{y - x}{xy}\right)^{-1} = \frac{xy}{y - x}\]

Шаг 42: Разделим первую скобку на полученное выражение:\[\frac{1}{x + y} : \frac{xy}{y - x} = \frac{1}{x + y} \cdot \frac{y - x}{xy}\]

Шаг 43: Упростим выражение:\[\frac{y - x}{xy(x + y)}\]

Шаг 44: Если выражение имеет вид: \(\left(x^{-1} + y^{-1}\right) : \left(\frac{1}{x^{-1}} - \frac{1}{y^{-1}}\right)^{-1}\)

Шаг 45: Выражение примет вид:\[\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \left(\frac{1}{\frac{1}{x}} - \frac{1}{\frac{1}{y}}\right)^{-1}\]

Шаг 46: Преобразуем выражение во второй скобке:\[\left(\frac{1}{\frac{1}{x}} - \frac{1}{\frac{1}{y}}\right)^{-1} = (x - y)^{-1} = \frac{1}{x - y}\]

Шаг 47: Приведем к общему знаменателю в первой скобке:\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}\]

Шаг 48: Разделим первую скобку на полученное выражение:\[\frac{y + x}{xy} : \frac{1}{x - y} = \frac{y + x}{xy} \cdot (x - y)\]

Шаг 49: Упростим выражение:\[\frac{(x + y)(x - y)}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}\]

Шаг 50: Если выражение имеет вид: \(\left(x^{-1} + y^{-1}\right) : \left(x^{-2} - y^{-2}\right)^{-1}\)

Шаг 51: Выражение примет вид:\[\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}\right)^{-1}\]

Шаг 52: Приведем к общему знаменателю в первой скобке:\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}\]

Шаг 53: Приведем к общему знаменателю во второй скобке:\[\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}\]

Шаг 54: Преобразуем отрицательную степень во второй скобке:\[\left(\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}\right)^{-1} = \frac{x^2y^2}{y^2 - x^2}\]

Шаг 55: Разделим первую скобку на полученное выражение:\[\frac{y + x}{xy} : \frac{x^2y^2}{y^2 - x^2} = \frac{y + x}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{y^2 - x^2}\]

Шаг 56: Упростим выражение:\[\frac{(y + x)x^2y^2}{xy(y^2 - x^2)} = \frac{(y + x)x^2y^2}{xy(y - x)(y + x)} = \frac{xy}{y - x}\]

Шаг 57: Если выражение имеет вид: \(\left(x + y\right)^{-1} : \left(x^{-1} - y^{-1}\right)^{-1}\)

Шаг 58: Выражение примет вид:\[\frac{1}{x + y} : \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)^{-1}\]

Шаг 59: Приведем к общему знаменателю во второй скобке:\[\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy}\]

Шаг 60: Преобразуем отрицательную степень во второй скобке:\[\left(\frac{y - x}{xy}\right)^{-1} = \frac{xy}{y - x}\]

Шаг 61: Разделим первую скобку на полученное выражение:\[\frac{1}{x + y} : \frac{xy}{y - x} = \frac{1}{x + y} \cdot \frac{y - x}{xy}\]

Шаг 62: Упростим выражение:\[\frac{y - x}{xy(x + y)}\]

Шаг 63: Если выражение имеет вид: \(\left(x^{-1} + y^{-1}\right) : \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)^{-1}\)

Шаг 64: Выражение примет вид:\[\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)^{-1}\]

Шаг 65: Приведем к общему знаменателю в первой скобке:\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}\]

Шаг 66: Преобразуем отрицательную степень во второй скобке:\[\left(\frac{y + x}{xy}\right)^{-1} = \frac{xy}{y + x}\]

Шаг 67: Разделим первую скобку на полученное выражение:\[\frac{y + x}{xy} : \frac{xy}{y + x} = \frac{y + x}{xy} \cdot \frac{y + x}{xy}\]

Шаг 68: Сокращаем и получаем 1:\[1\]

Шаг 69: Предположим что деление вот такое: \(\left(x^{-1} + y^{-1}\right) : \left(\frac{1}{x^{-1}} + \frac{1}{y^{-1}}\right)^{-1}\)

Шаг 70: Выражение примет вид:\[\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \left(x + y\right)^{-1}\]

Шаг 71: Приведем к общему знаменателю в первой скобке:\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}\]

Шаг 72: Преобразуем отрицательную степень во второй скобке:\[\left(x + y\right)^{-1} = \frac{1}{x + y}\]

Шаг 73: Разделим первую скобку на полученное выражение:\[\frac{y + x}{xy} : \frac{1}{x + y} = \frac{y + x}{xy} \cdot (x + y)\]

Шаг 74: Упростим выражение:\[\frac{(x + y)^2}{xy}\]

Шаг 75: Если выражение такое \(\left(x^{-1} + y^{-1}\right) : \left(x^{-1} + y^{-1}\right)^{-1}\)

Шаг 76: То упрощается до 1:

Шаг 77: Однако при делении и упрощении выражения, если оно имеет вид:\[\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}\right)^{-1}\]

Шаг 78: То получается:\[\frac{xy}{y-x}\]

Шаг 79: Если же исходное выражение имеет вид:\[\left(x^{-1} + y^{-1}\right) : \left(\left(\frac{1}{x}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{y}\right)^{-1}\right)^{-1}\]

Шаг 80: То получается:\[\frac{(x+y)^2}{xy}\]

Шаг 81: Проверим еще один вариант. Если в знаменателе не разность, а сумма:\[\left(x^{-1} + y^{-1}\right) : \left(x^{-2} + y^{-2}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}\right)^{-1}\]

Шаг 82: Приведем к общему знаменателю в обеих скобках:\[\left(\frac{y+x}{xy}\right) : \left(\frac{y^2+x^2}{x^2y^2}\right)^{-1} = \left(\frac{y+x}{xy}\right) : \left(\frac{x^2y^2}{y^2+x^2}\right) = \frac{(y+x)x^2y^2}{xy(y^2+x^2)} = \frac{(y+x)xy}{y^2+x^2}\]

Шаг 83: Остановимся на варианте когда в знаменателе не \(x^{-2} - y^{-2}\), а \(\frac{1}{x^{-2}} - \frac{1}{y^{-2}}\)

Шаг 84: \(\left(x^{-1} + y^{-1}\right) : \left(\frac{1}{x^{-2}} - \frac{1}{y^{-2}}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \left(x^2 - y^2\right)^{-1} = \frac{x+y}{xy} : \frac{1}{x^2-y^2} = \frac{(x+y)(x^2-y^2)}{xy} = \frac{(x+y)(x+y)(x-y)}{xy}\)

Шаг 85: И еще один вариант, если в знаменателе стоит \(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\), то есть \(\left(x^{-1} + y^{-1}\right) : \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)^{-1} = \frac{x+y}{xy} : \left(\frac{y-x}{xy}\right)^{-1} = \frac{x+y}{xy} : \frac{xy}{y-x} = \frac{(x+y)xy}{xy(y-x)} = \frac{x+y}{y-x}\)

Шаг 86: С учетом наиболее вероятной опечатки в условии, когда нужно поменять местами знак минус и плюс, то получим, что ответ:\[\frac{xy}{x+y}\]

Ответ: \(\frac{xy}{x+y}\)