Упростите выражение. Найдите его значение при a = -5/9.

Решение:

Сначала упростим выражение:

\[ \left( \frac{1}{a + 10} - \frac{1}{a - 10} \right) \cdot \frac{a^2 - 100}{30a} \]

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \( (a + 10)(a - 10) = a^2 - 100 \):

\[ \left( \frac{a - 10 - (a + 10)}{(a + 10)(a - 10)} \right) \cdot \frac{a^2 - 100}{30a} = \left( \frac{a - 10 - a - 10}{a^2 - 100} \right) \cdot \frac{a^2 - 100}{30a} \]

Упростим числитель в скобках:

\[ \left( \frac{-20}{a^2 - 100} \right) \cdot \frac{a^2 - 100}{30a} \]

Сократим \( a^2 - 100 \):

\[ \frac{-20}{30a} = \frac{-2}{3a} \]

Теперь найдём значение выражения при \( a = -\frac{5}{9} \):

\[ \frac{-2}{3 \cdot \left(-\frac{5}{9}\right)} = \frac{-2}{-\frac{15}{9}} = \frac{-2}{-\frac{5}{3}} \]

Деление на дробь равно умножению на обратную дробь:

\[ -2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{6}{5} \]

Преобразуем в десятичную дробь:

\[ \frac{6}{5} = 1.2 \]

Ответ: 1.2