Упростите выражение: \( \left( \frac{1}{b-\sqrt{a}} + \frac{1}{b+\sqrt{a}} \right) : \frac{\sqrt{\frac{1}{9}} \cdot a^{-2} \cdot b^{-1}}{a^{-2} - a^{-1} \cdot b^{-2}} \)

Решение:

Сначала упростим выражение в первой скобке:

\[ \frac{1}{b-\sqrt{a}} + \frac{1}{b+\sqrt{a}} = \frac{(b+\sqrt{a}) + (b-\sqrt{a})}{(b-\sqrt{a})(b+\sqrt{a})} = \frac{2b}{b^2 - a} \]

Теперь упростим дробь во второй части выражения:

\[ \frac{\sqrt{\frac{1}{9}} \cdot a^{-2} \cdot b^{-1}}{a^{-2} - a^{-1} \cdot b^{-2}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{b}}{\frac{1}{a^2} - \frac{1}{a \cdot b^2}} = \frac{\frac{1}{3a^2b}}{\frac{b^2 - a}{a^2b^2}} = \frac{1}{3a^2b} \cdot \frac{a^2b^2}{b^2 - a} = \frac{b}{3(b^2 - a)} \]

Теперь выполним деление:

\[ \frac{2b}{b^2 - a} : \frac{b}{3(b^2 - a)} = \frac{2b}{b^2 - a} \cdot \frac{3(b^2 - a)}{b} = \frac{2b \cdot 3(b^2 - a)}{(b^2 - a) \cdot b} = 6 \]

Ответ: 6