Упростите выражение: \(\frac{\sin^3 \alpha + \sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha}{\operatorname{tg} \alpha}\)

Решение:

Упростим числитель дроби:

\(\sin^3 \alpha + \sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \sin \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)\)

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

Таким образом, числитель равен:

\(\sin \alpha \cdot 1 = \sin \alpha\)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\(\frac{\sin \alpha}{\operatorname{tg} \alpha}\)

Вспомним определение тангенса: \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)

Подставляем тангенс в выражение:

\(\frac{\sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\)

При делении на дробь, умножаем на обратную дробь:

\(\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)

Сокращаем \(\sin \alpha\)

\(\cos \alpha\)

Таким образом, упрощённое выражение равно \(\cos \alpha\).

Ответ: cos α