Упростите выражение, если n — натуральное число: 14^n / (2^(n+1) * 7^(n-1))

Решение:

Чтобы упростить данное выражение, преобразуем числитель и знаменатель, используя свойства степеней.

1. Разложим число 14 на простые множители: \( 14 = 2 \cdot 7 \).
2. Запишем числитель как степень произведения: \( 14^n = (2 \cdot 7)^n = 2^n \cdot 7^n \).
3. Преобразуем знаменатель, используя свойство \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \) и \( a^{m-n} = a^m / a^n \): \( 2^{n+1} \cdot 7^{n-1} = (2^n \cdot 2^1) \cdot \frac{7^n}{7^1} \).
4. Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение: \[ \frac{2^n \cdot 7^n}{2^n \cdot 2 \cdot \frac{7^n}{7}} = \frac{2^n \cdot 7^n}{2^n \cdot \frac{2}{7} \cdot 7^n} \]
5. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: \[ \frac{\cancel{2^n} \cdot \cancel{7^n}}{\cancel{2^n} \cdot \frac{2}{7} \cdot \cancel{7^n}} = \frac{1}{\frac{2}{7}} \]
6. Выполним деление: \( \frac{1}{\frac{2}{7}} = 1 \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{2} \).

Таким образом, упрощенное выражение равно \( \frac{7}{2} \) или 3,5.

Ответ: $$\frac{7}{2}$$