Упростите выражение (b⁻² - a⁻²) ⋅ (a+b/ab)⁻¹. Сопоставьте действие с его результатом

Решение:

Упростим данное выражение:

\( (b^{-2} - a^{-2}) \cdot \left(\frac{a+b}{ab}\right)^{-1} \)

Приведём первую скобку к общему знаменателю:

\( b^{-2} - a^{-2} = \frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2 b^2} \)

Вторую скобку перевернём, так как степень равна -1:

\( \left(\frac{a+b}{ab}\right)^{-1} = \frac{ab}{a+b} \)

Теперь перемножим полученные выражения:

\( \frac{a^2 - b^2}{a^2 b^2} \cdot \frac{ab}{a+b} \)

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).

\( \frac{(a-b)(a+b)}{a^2 b^2} \cdot \frac{ab}{a+b} \)

Сократим \( (a+b) \) и \( ab \):

\( \frac{a-b}{ab} \cdot \frac{1}{1} = \frac{a-b}{ab} \)

Сопоставление действий с результатами:

• Первое действие (упрощение выражения \( b^{-2} - a^{-2} \)) соответствует результату \( \frac{a^2 - b^2}{a^2 b^2} \).
• Второе действие (упрощение выражения \( \left(\frac{a+b}{ab}\right)^{-1} \)) соответствует результату \( \frac{ab}{a+b} \).
• Третье действие (перемножение упрощённых выражений) соответствует результату \( \frac{a-b}{ab} \).

Ответ: Первое действие — \( \frac{a^2 - b^2}{a^2 b^2} \), Второе действие — \( \frac{ab}{a+b} \), Третье действие — \( \frac{a-b}{ab} \).