Упростите выражение: a) (x+3)³-(x-3)³; б) (a-2b)³ +6ab(a-2b).

Решение:

1. а) Раскроем скобки, используя формулу куба разности и куба суммы:
   \( (x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \)
   \( (x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \)
   Теперь вычтем одно из другого:
   \( (x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 9x^2 - 27x + 27 = 18x^2 + 54 \)
2. б) Раскроем скобки, используя формулу куба разности:
   \( (a-2b)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 - (2b)^3 \)
   \( (a-2b)^3 = a^3 - 6a^2b + 3a \cdot 4b^2 - 8b^3 \)
   \( (a-2b)^3 = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 \)
   Теперь подставим это в исходное выражение:
   \( (a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3) + 6ab(a-2b) \)
   Раскроем вторую часть:
   \( 6ab(a-2b) = 6a^2b - 12ab^2 \)
   Теперь сложим:
   \( a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 + 6a^2b - 12ab^2 \)
   Сгруппируем подобные члены:
   \( a^3 + (-6a^2b + 6a^2b) + (12ab^2 - 12ab^2) - 8b^3 \)
   \( a^3 - 8b^3 \)

Ответ: а) 18x² + 54; б) a³ - 8b³.