Упростите выражение: (√5+√3)/(√5-√3) - (√5-√3)/(√5+√3)

Решение:

Чтобы упростить выражение, приведём дроби к общему знаменателю:

\( \text{Общий знаменатель} = (\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 \)

Теперь приведём каждую дробь к общему знаменателю:

\( \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{2} \)

\( \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{2} \)

Теперь вычтем вторую дробь из первой:

\( \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{2} - \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{2} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15} \)

\( (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} \)

Теперь подставим раскрытые скобки в выражение:

\( \frac{(8 + 2\sqrt{15}) - (8 - 2\sqrt{15})}{2} \)

\( \frac{8 + 2\sqrt{15} - 8 + 2\sqrt{15}}{2} \)

\( \frac{4\sqrt{15}}{2} \)

\( 2\sqrt{15} \)

Ответ: $$2\sqrt{15}$$