Упростите выражение: (3x⁴ + 2)² + (1 - 2x⁴)² + (x⁴ + 1)(1 - x⁴) - 12x⁸ - 8x⁴ =

Решение:

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

1. Раскроем первый квадрат суммы: \( (3x^4 + 2)^2 = (3x^4)^2 + 2 \cdot 3x^4 \cdot 2 + 2^2 = 9x^8 + 12x^4 + 4 \).
2. Раскроем второй квадрат разности: \( (1 - 2x^4)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2x^4 + (2x^4)^2 = 1 - 4x^4 + 4x^8 \).
3. Раскроем произведение разности квадратов: \( (x^4 + 1)(1 - x^4) = 1^2 - (x^4)^2 = 1 - x^8 \).
4. Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное: \( (9x^8 + 12x^4 + 4) + (1 - 4x^4 + 4x^8) + (1 - x^8) - 12x^8 - 8x^4 \).
5. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями \( x \): \( (9x^8 + 4x^8 - x^8 - 12x^8) + (12x^4 - 4x^4 - 8x^4) + (4 + 1) \).
6. Выполним сложение и вычитание: \( (13x^8 - 13x^8) + (8x^4 - 8x^4) + 5 \).
7. Упростим: \( 0 + 0 + 5 \).

Ответ: 5