Упростите выражение (2+1)(2² + 1)(2⁴+1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1).

Решение:

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

Умножим обе части выражения на \( (2-1) \), которое равно 1. Это не изменит значение всего выражения.

\( (2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) \)

Применим формулу разности квадратов последовательно:

1. \( (2-1)(2+1) = 2^2 - 1^2 = 2^2 - 1 \)
2. \( (2^2-1)(2^2+1) = (2^2)^2 - 1^2 = 2^4 - 1 \)
3. \( (2^4-1)(2^4+1) = (2^4)^2 - 1^2 = 2^8 - 1 \)
4. \( (2^8-1)(2^8+1) = (2^8)^2 - 1^2 = 2^{16} - 1 \)
5. \( (2^{16}-1)(2^{16}+1) = (2^{16})^2 - 1^2 = 2^{32} - 1 \)
6. \( (2^{32}-1)(2^{32}+1) = (2^{32})^2 - 1^2 = 2^{64} - 1 \)

Таким образом, исходное выражение равно:

\[ \frac{(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)}{2-1} = \frac{2^{64}-1}{1} = 2^{64}-1 \]

Ответ: 2⁶⁴ - 1.