Контрольные задания > 23.2. Упростите выражение: 1) (1 + ctgβ)² + (1 - ctgβ)²; 2) sin² acos²a(tg2a + ctg2a + 2); 3) cosβ +1-sinβ; 1 - sinβ cosβ 4) tga 1+ ctg2a. 1+tg²a ctg²a ; 5) costa + sin²a cos²a - cos²a – 1; 6) tg(-a) ctga + sin²(-a).
Вопрос:

23.2. Упростите выражение: 1) (1 + ctgβ)² + (1 - ctgβ)²; 2) sin² acos²a(tg2a + ctg2a + 2); 3) cosβ +1-sinβ; 1 - sinβ cosβ 4) tga 1+ ctg2a. 1+tg²a ctg²a ; 5) costa + sin²a cos²a - cos²a – 1; 6) tg(-a) ctga + sin²(-a).

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ:

Краткое пояснение: Используем тригонометрические тождества и алгебраические преобразования для упрощения выражений.

1) (1 + ctgβ)² + (1 - ctgβ)²

  • Раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы и разности: \[ (1 + ctg\beta)^2 + (1 - ctg\beta)^2 = (1 + 2ctg\beta + ctg^2\beta) + (1 - 2ctg\beta + ctg^2\beta) \]
  • Упрощаем выражение: \[ 1 + 2ctg\beta + ctg^2\beta + 1 - 2ctg\beta + ctg^2\beta = 2 + 2ctg^2\beta \]
  • Выносим 2 за скобки: \[ 2 + 2ctg^2\beta = 2(1 + ctg^2\beta) \]
  • Используем тождество \( 1 + ctg^2\beta = \frac{1}{sin^2\beta} \): \[ 2(1 + ctg^2\beta) = \frac{2}{sin^2\beta} \]

Ответ: \(\frac{2}{sin^2\beta}\)

2) sin² α cos² α(tg² α + ctg² α + 2)

  • Представляем \( tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} \) и \( ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} \): \[ sin^2 \alpha cos^2 \alpha \left( \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} + \frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} + 2 \right) \]
  • Приводим к общему знаменателю в скобках: \[ sin^2 \alpha cos^2 \alpha \left( \frac{sin^4 \alpha + cos^4 \alpha + 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha cos^2 \alpha} \right) \]
  • Замечаем, что \( sin^4 \alpha + cos^4 \alpha + 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha = (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)^2 \): \[ sin^2 \alpha cos^2 \alpha \left( \frac{(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)^2}{sin^2 \alpha cos^2 \alpha} \right) \]
  • Используем тождество \( sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \): \[ sin^2 \alpha cos^2 \alpha \left( \frac{1}{sin^2 \alpha cos^2 \alpha} \right) = 1 \]

Ответ: 1

3) \(\frac{cos\beta}{1 - sin\beta} + \frac{1 - sin\beta}{cos\beta}\)

  • Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{cos^2\beta + (1 - sin\beta)^2}{cos\beta(1 - sin\beta)} \]
  • Раскрываем скобки в числителе: \[ \frac{cos^2\beta + 1 - 2sin\beta + sin^2\beta}{cos\beta(1 - sin\beta)} \]
  • Используем тождество \( cos^2\beta + sin^2\beta = 1 \): \[ \frac{1 + 1 - 2sin\beta}{cos\beta(1 - sin\beta)} = \frac{2 - 2sin\beta}{cos\beta(1 - sin\beta)} \]
  • Выносим 2 за скобки в числителе: \[ \frac{2(1 - sin\beta)}{cos\beta(1 - sin\beta)} \]
  • Сокращаем \( 1 - sin\beta \): \[ \frac{2}{cos\beta} \]

Ответ: \(\frac{2}{cos\beta}\)

4) \(\frac{tg^2 \alpha}{1 + tg^2 \alpha} \cdot \frac{1 + ctg^2 \alpha}{ctg^2 \alpha}\)

  • Используем тождества \( 1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha} \) и \( 1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha} \): \[ \frac{tg^2 \alpha}{\frac{1}{cos^2 \alpha}} \cdot \frac{\frac{1}{sin^2 \alpha}}{ctg^2 \alpha} = tg^2 \alpha cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{sin^2 \alpha ctg^2 \alpha} \]
  • Заменяем \( tg^2 \alpha = \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} \) и \( ctg^2 \alpha = \frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} \): \[ \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{sin^2 \alpha \frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}} = sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{cos^2 \alpha} = \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} \]
  • Получаем: \[ tg^2 \alpha \]

Ответ: \(tg^2 \alpha\)

5) cos⁴ α + sin² α cos² α - cos² α – 1

  • Группируем первые два члена и выносим cos² α за скобки: \[ cos^4 \alpha + sin^2 \alpha cos^2 \alpha - cos^2 \alpha - 1 = cos^2 \alpha (cos^2 \alpha + sin^2 \alpha) - cos^2 \alpha - 1 \]
  • Используем тождество \( cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = 1 \): \[ cos^2 \alpha \cdot 1 - cos^2 \alpha - 1 = cos^2 \alpha - cos^2 \alpha - 1 \]
  • Упрощаем выражение: \[ -1 \]

Ответ: -1

6) tg(-α) ctg α + sin²(-α)

  • Используем свойства \( tg(- \alpha) = -tg \alpha \) и \( sin(- \alpha) = -sin \alpha \): \[ -tg \alpha \cdot ctg \alpha + (-sin \alpha)^2 \]
  • Учитываем, что \( tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \): \[ -1 + sin^2 \alpha \]
  • Используем основное тригонометрическое тождество \( sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \), откуда \( sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha \): \[ -1 + 1 - cos^2 \alpha = -cos^2 \alpha \]

Ответ: \(-cos^2 \alpha\)

Ответ:

Цифровой атлет: Ты только что мастерски упростил тригонометрические выражения! Уровень интеллекта: +50

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей

ГДЗ по фото 📸