1. Упростите выражение: \[\left(\frac{3ab}{5cd^{-1}}\right)^{4}\left(\frac{ac^{-4}}{b^{2}d^{3}}\right)^{-2}\left(\frac{a^{-2}b^{2}}{cd^{-3}}\right)^{1}\] 2. Продолжите фразу: «Последовательность называется бесконечно малой, если...» 3. Вычислите: a) \[\lim_{\beta \to 0} \frac{sin 25\beta}{\beta};\] б) \[\lim_{x \to 2} \frac{(x^{2}-3x)(x-3)}{x^{2}-6x+9};\] в) \[\lim_{x \to -1} \frac{x^{2}-5x+1}{3x+7};\]

Ответ: 1. Упрощение выражения; 2. определение бесконечно малой последовательности; 3. Вычисление пределов

1. Упрощение выражения

Нам нужно упростить следующее выражение:

\[\left(\frac{3ab}{5cd^{-1}}\right)^{4}\left(\frac{ac^{-4}}{b^{2}d^{3}}\right)^{-2}\left(\frac{a^{-2}b^{2}}{cd^{-3}}\right)^{1}\]

Приступим к упрощению:

• Шаг 1: Упростим первую скобку

\[\left(\frac{3ab}{5cd^{-1}}\right)^{4} = \frac{(3ab)^4}{(5cd^{-1})^4} = \frac{81a^4b^4}{625c^4d^{-4}} = \frac{81a^4b^4d^{4}}{625c^4}\]

• Шаг 2: Упростим вторую скобку

\[\left(\frac{ac^{-4}}{b^{2}d^{3}}\right)^{-2} = \left(\frac{b^{2}d^{3}}{ac^{-4}}\right)^{2} = \frac{b^4d^6}{a^2c^{-8}} = \frac{b^4d^6c^{8}}{a^2}\]

• Шаг 3: Упростим третью скобку

\[\left(\frac{a^{-2}b^{2}}{cd^{-3}}\right)^{1} = \frac{a^{-2}b^{2}}{cd^{-3}} = \frac{b^{2}d^{3}}{a^{2}c}\]

• Шаг 4: Перемножим все упрощенные выражения

\[\frac{81a^4b^4d^{4}}{625c^4} \cdot \frac{b^4d^6c^{8}}{a^2} \cdot \frac{b^{2}d^{3}}{a^{2}c} = \frac{81a^4b^4d^{4}b^4d^6c^{8}b^{2}d^{3}}{625c^4a^2a^{2}c} = \frac{81a^4b^{10}d^{13}c^{8}}{625a^4c^5} = \frac{81b^{10}d^{13}c^{3}}{625}\]

Ответ:

\[\frac{81b^{10}d^{13}c^{3}}{625}\]

2. Продолжение фразы

Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.

Ответ:

Если её предел равен нулю.

3. Вычисление пределов

а) \[\lim_{\beta \to 0} \frac{\sin 25\beta}{\beta}\]

Умножим и разделим на 25:

\[\lim_{\beta \to 0} \frac{\sin 25\beta}{\beta} = 25 \lim_{\beta \to 0} \frac{\sin 25\beta}{25\beta}\]

Поскольку \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\), то:

\[25 \lim_{\beta \to 0} \frac{\sin 25\beta}{25\beta} = 25 \cdot 1 = 25\]

Ответ:

25

б) \[\lim_{x \to 2} \frac{(x^{2}-3x)(x-3)}{x^{2}-6x+9}\]

Разложим на множители:

\[\lim_{x \to 2} \frac{x(x-3)(x-3)}{(x-3)^{2}} = \lim_{x \to 2} \frac{x(x-3)(x-3)}{(x-3)(x-3)}\]

Сократим:

\[\lim_{x \to 2} x = 2\]

Ответ:

2

в) \[\lim_{x \to -1} \frac{x^{2}-5x+1}{3x+7}\]

Подставим \(x = -1\) в выражение:

\[\frac{(-1)^{2}-5(-1)+1}{3(-1)+7} = \frac{1+5+1}{-3+7} = \frac{7}{4}\]

Ответ:

\[\frac{7}{4}\]

Ответ: 1. \[\frac{81b^{10}d^{13}c^{3}}{625}\]; 2. Если её предел равен нулю.; 3. а) 25; б) 2; в) \[\frac{7}{4}\]