Упростите рациональное алгебраическое выражение: (x²/y + y²/x) / (1/x + 1/y)

Решение:

Приведём числитель и знаменатель дроби к общему знаменателю.

1. Числитель: \( \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = \frac{x^3 + y^3}{xy} \).
2. Знаменатель: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy} \).
3. Теперь разделим числитель на знаменатель: \( \frac{x^3 + y^3}{xy} : \frac{x + y}{xy} \).
4. Деление дробей равно умножению на обратную дробь: \( \frac{x^3 + y^3}{xy} \cdot \frac{xy}{x + y} \).
5. Сократим \( xy \): \( \frac{x^3 + y^3}{x + y} \).
6. Разложим сумму кубов \( x^3 + y^3 \) по формуле: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \).
7. Подставим разложение в дробь: \( \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x + y} \).
8. Сократим \( x + y \): \( x^2 - xy + y^2 \).

Ответ: \( x^2 - xy + y^2 \).