Упростите числовое выражение √27+10√2 + √27-10√2.

Решение:

Для упрощения данного выражения, раскроем квадратные корни. Заметим, что подкоренные выражения имеют вид \( a \pm b\sqrt{c} \). Попробуем представить их в виде квадрата суммы или разности \( (x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2 \).

Рассмотрим первое подкоренное выражение: \( \sqrt{27 + 10\sqrt{2}} \).

Нам нужно найти такие \( x \) и \( y \), чтобы \( x^2 + y^2 = 27 \) и \( 2xy = 10\sqrt{2} \), то есть \( xy = 5\sqrt{2} \).

Попробуем подобрать числа. Если \( x = 5 \) и \( y = \sqrt{2} \), то \( x^2 = 25 \) и \( y^2 = 2 \). Сумма \( x^2 + y^2 = 25 + 2 = 27 \). Произведение \( xy = 5 \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \). Это подходит.

Следовательно, \( 27 + 10\sqrt{2} = (5 + \sqrt{2})^2 \).

Тогда \( \sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = |5 + \sqrt{2}| = 5 + \sqrt{2} \) (так как \( 5 + \sqrt{2} > 0 \)).

Теперь рассмотрим второе подкоренное выражение: \( \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} \).

Аналогично, нам нужно найти такие \( x \) и \( y \), чтобы \( x^2 + y^2 = 27 \) и \( 2xy = 10\sqrt{2} \), то есть \( xy = 5\sqrt{2} \).

Мы уже нашли, что \( x = 5 \) и \( y = \sqrt{2} \) удовлетворяют этим условиям.

Следовательно, \( 27 - 10\sqrt{2} = (5 - \sqrt{2})^2 \).

Тогда \( \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2} = |5 - \sqrt{2}| \). Так как \( 5 > \sqrt{2} \), то \( 5 - \sqrt{2} > 0 \), и \( |5 - \sqrt{2}| = 5 - \sqrt{2} \).

Теперь сложим полученные результаты:

\( (5 + \sqrt{2}) + (5 - \sqrt{2}) = 5 + \sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 10 \).

Ответ: 10.