5. Упростите: а) \(\frac{1-cos2\alpha}{sin 2\alpha}\); 6) cos²2α + 4sin²αcos²α; в) \(\frac{1+cos2\alpha+sin 2\alpha}{cos \alpha+sin \alpha}\)

а) Используем формулы: cos 2α = 1 - 2sin² α и sin 2α = 2sin α cos α. Тогда:

\(\frac{1-cos2\alpha}{sin 2\alpha}\) = \(\frac{1 - (1 - 2sin² \alpha)}{2sin \alpha cos \alpha}\) = \(\frac{2sin² \alpha}{2sin \alpha cos \alpha}\) = \(\frac{sin \alpha}{cos \alpha}\) = tg α.

Ответ: tg α

б) Используем формулы: cos 2α = cos² α - sin² α. Тогда:

cos²2α + 4sin²αcos²α = (cos² α - sin² α)² + 4sin²αcos²α = cos⁴ α - 2sin²αcos²α + sin⁴ α + 4sin²αcos²α = cos⁴ α + 2sin²αcos²α + sin⁴ α = (cos² α + sin² α)² = 1² = 1.

Ответ: 1

в) Используем формулы: cos 2α = cos² α - sin² α и sin 2α = 2sin α cos α. Тогда:

\(\frac{1+cos2\alpha+sin 2\alpha}{cos \alpha+sin \alpha}\) = \(\frac{cos² \alpha + sin² \alpha + cos² \alpha - sin² \alpha + 2sin \alpha cos \alpha}{cos \alpha+sin \alpha}\) = \(\frac{2cos² \alpha + 2sin \alpha cos \alpha}{cos \alpha+sin \alpha}\) = \(\frac{2cos \alpha(cos \alpha + sin \alpha)}{cos \alpha+sin \alpha}\) = 2cos α.

Ответ: 2cos α