Упростить выражения: а) \(\dfrac{b^2-6b+9}{b-7}\cdot\dfrac{b-7}{b-3}\); б) \(\dfrac{5a^6}{b^8}:(10a^3b^2)\); в) \(\dfrac{n^2-3n}{64n^2-1}:\dfrac{n^4-27n}{64n^2+16n+1}\). Какому числу при всех допустимых значениях \(a\) равно значение выражения \(\left(\dfrac{30a}{9a^2-25}+\dfrac{5}{5-3a}\right):\left(\dfrac{3a-5}{3a+5}-1\right)\)?

а) \(b^2-6b+9=(b-3)^2\), поэтому при \(b\ne7,3\):

\[\dfrac{(b-3)^2}{b-7}\cdot\dfrac{b-7}{b-3}=b-3.\]

Ответ: \(b-3\).

б) При \(a\ne0\), \(b\ne0\):

\[\dfrac{5a^6}{b^8}:(10a^3b^2)=\dfrac{5a^6}{b^8}\cdot\dfrac1{10a^3b^2}=\dfrac{a^3}{2b^{10}}.\]

Ответ: \(\dfrac{a^3}{2b^{10}}\).

в) Разложим на множители:

\[n^2-3n=n(n-3),\quad 64n^2-1=(8n-1)(8n+1),\]

\[n^4-27n=n(n-3)(n^2+3n+9),\quad 64n^2+16n+1=(8n+1)^2.\]

Тогда

\[\dfrac{n(n-3)}{(8n-1)(8n+1)}\cdot\dfrac{(8n+1)^2}{n(n-3)(n^2+3n+9)}=\dfrac{8n+1}{(8n-1)(n^2+3n+9)}.\]

Ответ: \(\dfrac{8n+1}{(8n-1)(n^2+3n+9)}\).

Рассмотрим последнее выражение. Учитывая \(9a^2-25=(3a-5)(3a+5)\) и \(5-3a=-(3a-5)\), получаем:

\[\dfrac{30a}{(3a-5)(3a+5)}-\dfrac5{3a-5}=\dfrac{30a-5(3a+5)}{(3a-5)(3a+5)}=\dfrac{5(a-5)}{(3a-5)(3a+5)}.\]

Вторая скобка:

\[\dfrac{3a-5}{3a+5}-1=\dfrac{3a-5-(3a+5)}{3a+5}=\dfrac{-10}{3a+5}.\]

Следовательно,

\[\dfrac{5(a-5)}{(3a-5)(3a+5)}:\dfrac{-10}{3a+5}=\dfrac{5(a-5)}{(3a-5)(3a+5)}\cdot\dfrac{-(3a+5)}{10}=\dfrac{5-a}{2(3a-5)}.\]

Это выражение не является постоянным при всех допустимых значениях \(a\). Например, при \(a=0\) оно равно \(\frac12\), а при \(a=1\) — \(\frac14\). Поэтому условие в изображении, вероятно, содержит опечатку: данное выражение не равно одному и тому же числу для всех допустимых \(a\).