Упростить выражение \( \left( b - 3 + \frac{18}{b + 3} \right) : \frac{b^2 + 9}{b^2 + 6b + 9} \cdot \frac{1}{b - 3} \) и найти его значение при \( b = -\frac{1}{3} \).

Решение:

1. Сначала упростим первое слагаемое в скобках:
   \( b - 3 + \frac{18}{b + 3} = \frac{(b - 3)(b + 3) + 18}{b + 3} = \frac{b^2 - 9 + 18}{b + 3} = \frac{b^2 + 9}{b + 3} \)
2. Теперь подставим это обратно в выражение:
   \( \frac{b^2 + 9}{b + 3} : \frac{b^2 + 9}{b^2 + 6b + 9} \cdot \frac{1}{b - 3} \)
3. Заменим деление умножением на обратную дробь:
   \( \frac{b^2 + 9}{b + 3} \cdot \frac{b^2 + 6b + 9}{b^2 + 9} \cdot \frac{1}{b - 3} \)
4. Заметим, что \( b^2 + 6b + 9 = (b + 3)^2 \). Сократим подобные члены:
   \( \frac{b^2 + 9}{b + 3} \cdot \frac{(b + 3)^2}{b^2 + 9} \cdot \frac{1}{b - 3} = \frac{(b + 3)}{1} \cdot \frac{1}{b - 3} = \frac{b + 3}{b - 3} \)
5. Теперь подставим значение \( b = -\frac{1}{3} \) в упрощенное выражение:
   \( \frac{-\frac{1}{3} + 3}{-\frac{1}{3} - 3} \)
6. Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю:
   Числитель: \( -\frac{1}{3} + \frac{9}{3} = \frac{8}{3} \)
   Знаменатель: \( -\frac{1}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{10}{3} \)
7. Разделим числитель на знаменатель:
   \( \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{10}{3}} = \frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{3}{10}\right) = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5} \)

Ответ: -4/5.