Упростить: \(\frac{4x^2-9}{9-12x+4x^2}\) при \(x=\frac{3}{4}\)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим числитель по формуле разности квадратов \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \): \( 4x^2-9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x-3)(2x+3) \).
2. Шаг 2: Разложим знаменатель по формуле квадрата разности \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \): \( 9-12x+4x^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2x + (2x)^2 = (3-2x)^2 \).
3. Шаг 3: Запишем упрощенную дробь: \( \frac{(2x-3)(2x+3)}{(3-2x)^2} \). Заметим, что \( (3-2x)^2 = (-(2x-3))^2 = (2x-3)^2 \).
4. Шаг 4: Сократим дробь, убрав \( (2x-3) \) из числителя и знаменателя: \( \frac{2x+3}{2x-3} \).
5. Шаг 5: Подставим значение \( x = \frac{3}{4} \) в упрощенное выражение: \( \frac{2(\frac{3}{4})+3}{2(\frac{3}{4})-3} = \frac{\frac{3}{2}+3}{\frac{3}{2}-3} \).
6. Шаг 6: Вычислим значение числителя и знаменателя: \( \frac{\frac{3}{2}+\frac{6}{2}}{\frac{3}{2}-\frac{6}{2}} = \frac{\frac{9}{2}}{-\frac{3}{2}} \).
7. Шаг 7: Выполним деление дробей: \( \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{-3} = \frac{9}{-3} = -3 \).

Ответ: -3