Упрости выражение \(\frac{4x^{-2}y^2}{9} \cdot \frac{3x^4}{y^{-4}}\)

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:

1. Умножение дробей: \( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \).
2. Умножение степеней с одинаковым основанием: \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \).
3. Деление степеней с одинаковым основанием: \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \).
4. Отрицательная степень: \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \).

Применим эти правила к нашему выражению:

\[ \frac{4x^{-2}y^2}{9} \cdot \frac{3x^4}{y^{-4}} = \frac{(4x^{-2}y^2) \cdot (3x^4)}{9 \cdot y^{-4}} \]\[ = \frac{4 \cdot 3 \cdot x^{-2} \cdot x^4 \cdot y^2}{9 \cdot y^{-4}} \]\[ = \frac{12 \cdot x^{-2+4} \cdot y^2}{9 \cdot y^{-4}} \]\[ = \frac{12 x^2 y^2}{9 y^{-4}} \]\[ = \frac{12}{9} \cdot x^2 \cdot \frac{y^2}{y^{-4}} \]\[ = \frac{4}{3} \cdot x^2 \cdot y^{2 - (-4)} \]\[ = \frac{4}{3} x^2 y^{2+4} \]\[ = \frac{4}{3} x^2 y^6 \]