Контрольные задания
Вопрос:

Упрости выражение \(\frac{(3x + 3y)^3 - (3x + y)^3}{27x^2 + 36xy + 13y^2}\) и запиши в поле ответа одночлен в стандартном виде.

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Решение:

  1. Раскроем кубы в числителе, используя формулу \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \).
    \( (3x+3y)^3 = (3(x+y))^3 = 27(x+y)^3 = 27(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) \)
    \( (3x+y)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2y + 3(3x)y^2 + y^3 = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3 \)
  2. Вычтем второе выражение из первого:
    \( (3x+3y)^3 - (3x+y)^3 = 27(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3) \)
    \( = 27x^3 + 81x^2y + 81xy^2 + 27y^3 - 27x^3 - 27x^2y - 9xy^2 - y^3 \)
    \( = (27x^3 - 27x^3) + (81x^2y - 27x^2y) + (81xy^2 - 9xy^2) + (27y^3 - y^3) \)
    \( = 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 \)
  3. Теперь разделим полученное выражение на знаменатель:
    \(\frac{54x^2y + 72xy^2 + 26y^3}{27x^2 + 36xy + 13y^2}\)
  4. Заметим, что числитель можно вынести за скобку 2:
    \(\frac{2(27x^2y + 36xy^2 + 13y^3)}{27x^2 + 36xy + 13y^2}\)
  5. Заметим, что выражение в знаменателе очень похоже на множители числителя, но с переменной x вместо y. Перепишем знаменатель:
    \(27x^2 + 36xy + 13y^2\)
  6. Проверим, является ли выражение \( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \) множителем числителя, если учесть, что \( (3x+3y)^3 - (3x+y)^3 = 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 \).
  7. Перепишем числитель, вынеся 2 за скобку: \( 2(27x^2y + 36xy^2 + 13y^3) \).
  8. Похоже, в условии есть опечатка в знаменателе. Если бы знаменатель был \( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \), то не получилось бы упростить.
  9. Предположим, что знаменатель должен быть \( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \), и попытаемся привести числитель к виду, где можно сократить.
    \( (3x+3y)^3 - (3x+y)^3 = 27(x+y)^3 - (27x^3+27x^2y+9xy^2+y^3) \)
    \( = 27(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3) - 27x^3-27x^2y-9xy^2-y^3 \)
    \( = 27x^3+81x^2y+81xy^2+27y^3 - 27x^3-27x^2y-9xy^2-y^3 \)
    \( = 54x^2y+72xy^2+26y^3 \)
  10. Если знаменатель \( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \) верен, то выражение не упрощается до одночлена.
  11. Пересмотрим задачу. Возможно, ошибка в расчетах.
  12. \( (3x+3y)^3 = 27(x+y)^3 = 27(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = 27x^3 + 81x^2y + 81xy^2 + 27y^3 \)
  13. \( (3x+y)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2y + 3(3x)y^2 + y^3 = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3 \)
  14. Числитель: \( (27x^3 + 81x^2y + 81xy^2 + 27y^3) - (27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3) \)
    \( = 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 \)
  15. Знаменатель: \( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \).
  16. Если числитель разделить на 2, получим \( 27x^2y + 36xy^2 + 13y^3 \).
  17. Если предположить, что в знаменателе вместо \( x^2 \) должен быть \( xy \) и вместо \( y^2 \) должен быть \( y^3 \), то получится: \( 27xy + 36xy^2 + 13y^3 \), что тоже не совпадает.
  18. Предположим, что в знаменателе пропущена переменная \(y\) в первом слагаемом и \(x\) во втором, и \(y^2\) в третьем.
  19. Вернемся к началу. Если раскрыть \( (3x+3y)^3 \) и \( (3x+y)^3 \) и вычесть, получим \( 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 \).
  20. Разделим это на \( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \).
  21. Есть подозрение, что в знаменателе ошибка.
  22. Давайте предположим, что задача имеет решение в виде одночлена.
  23. Если знаменатель равен \( 2(27x^2 + 18xy + 6.5y^2) \), то это не упрощается.
  24. Что если знаменатель равен \( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \) и является множителем числителя?
  25. Рассмотрим случай, когда \( x=1, y=1 \). Числитель = \( (3+3)^3 - (3+1)^3 = 6^3 - 4^3 = 216 - 64 = 152 \). Знаменатель = \( 27 + 36 + 13 = 76 \). \( 152 / 76 = 2 \).
  26. Значит, ответ должен быть 2.
  27. Проверим, что \( 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 = 2(27x^2 + 36xy + 13y^2) \).
  28. Это равенство неверно, так как в числителе есть \( x^2y \) и \( xy^2 \) и \( y^3 \), а в знаменателе \( x^2 \) и \( xy \) и \( y^2 \).
  29. Если разделить \( 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 \) на \( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \), то сокращения не будет.
  30. Возможно, в задании имелся в виду другой знаменатель.
  31. Если бы знаменатель был \( 27y^2 + 36xy + 13x^2 \), то было бы симметрично, но тоже не сокращалось бы.
  32. Исходя из численного примера (x=1, y=1), ответ равен 2.
  33. Значит, \( 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 = 2(27x^2 + 36xy + 13y^2) \) должно быть истиной.
  34. Однако, это не так.
  35. Перепишем числитель: \( 27(x+y)^3 - (3x+y)^3 \).
  36. Если знаменатель имеет вид \( 27x^2+36xy+13y^2 \) и ответ 2, то числитель должен быть \( 2(27x^2+36xy+13y^2) \).
  37. Это никак не получается из \( (3x+3y)^3 - (3x+y)^3 \).
  38. Сделаем предположение, что знаменатель это \( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \) и он является частью, которая сокращается.
  39. Пусть \( u = 3x \). Тогда \( (u+3y)^3 - (u+y)^3 \) и знаменатель \( 3u^2 + 36xy + 13y^2 \).
  40. \( (u+3y)^3 = u^3 + 9u^2y + 27uy^2 + 27y^3 \)
  41. \( (u+y)^3 = u^3 + 3u^2y + 3uy^2 + y^3 \)
  42. Разность: \( 6u^2y + 24uy^2 + 26y^3 \)
  43. Подставляя \( u=3x \): \( 6(3x)^2y + 24(3x)y^2 + 26y^3 = 6(9x^2y) + 72xy^2 + 26y^3 = 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 \).
  44. Это совпадает с предыдущим расчетом.
  45. Знаменатель: \( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \).
  46. Если знаменатель равен \( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \), то деление \( 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 \) на него не дает одночлена.
  47. Возможно, задача требует раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.
  48. Еще раз проверим численный пример. \( x=1, y=1 \). Числитель = 152. Знаменатель = 76. Частное = 2.
  49. Если ответ 2, то \( 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 = 2(27x^2 + 36xy + 13y^2) \).
  50. Это равенство не верно.
  51. Предположим, что ошибка в условии, и знаменатель имеет другой вид.
  52. Если числитель \( 2(27x^2y + 36xy^2 + 13y^3) \) и знаменатель \( 27x^2y + 36xy^2 + 13y^3 \), то ответ 2.
  53. Но знаменатель дан как \( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \).
  54. В этом случае, задача не решается до одночлена.
  55. Однако, если предположить, что задача имеет решение, и численное значение при \( x=1, y=1 \) равно 2, то, возможно, есть какая-то очень сложная алгебраическая трансформация, которую мы упускаем.
  56. Но, судя по виду выражения, скорее всего, предполагается прямое сокращение.
  57. Если предположить, что знаменатель это \( 27y^2 + 36xy + 13x^2 \), то опять не сокращается.
  58. Если числитель равен \( 27y(2x^2 + \frac{8}{3}xy + \frac{26}{27}y^2) \).
  59. Нет, вернемся к \( x=1, y=1 \). Ответ 2.
  60. Что если знаменатель это \( 27x^2+36xy+13y^2 \) и числитель это \( 54x^2y+72xy^2+26y^3 \)?
  61. Если разделить \( 54x^2y \) на \( 27x^2 \) = \( 2y \).
  62. Если разделить \( 72xy^2 \) на \( 36xy \) = \( 2y \).
  63. Если разделить \( 26y^3 \) на \( 13y^2 \) = \( 2y \).
  64. Таким образом, можно предположить, что \( 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 = 2y(27x^2 + 36xy + 13y^2) \).
  65. Раскроем скобки: \( 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 \).
  66. Это совпадает с числителем.
  67. Следовательно, выражение упрощается до \( 2y \).

Ответ: 2y

📄 Все решения с фото📸 Фото ГДЗ