Упрости выражение: (a^2 - a^{-2}) \cdot \frac{(a^2 + 1)^{-1}}{a^{-2}} + 1.

Решение:

1. Рассмотрим выражение: \( \left(a^2 - a^{-2}\right) \cdot \frac{\left(a^2 + 1\right)^{-1}}{a^{-2}} + 1 \)
2. Преобразуем первый множитель: \( a^2 - a^{-2} = a^2 - \frac{1}{a^2} = \frac{a^4 - 1}{a^2} \)
3. Преобразуем второй множитель: \( \frac{\left(a^2 + 1\right)^{-1}}{a^{-2}} = \frac{\frac{1}{a^2 + 1}}{\frac{1}{a^2}} = \frac{1}{a^2 + 1} \cdot a^2 = \frac{a^2}{a^2 + 1} \)
4. Перемножим преобразованные множители: \( \frac{a^4 - 1}{a^2} \cdot \frac{a^2}{a^2 + 1} = \frac{(a^4 - 1)(a^2)}{a^2(a^2 + 1)} \)
5. Сократим \( a^2 \): \( \frac{a^4 - 1}{a^2 + 1} \)
6. Разложим числитель как разность квадратов: \( a^4 - 1 = (a^2 - 1)(a^2 + 1) \)
7. Подставим обратно: \( \frac{(a^2 - 1)(a^2 + 1)}{a^2 + 1} \)
8. Сократим \( a^2 + 1 \): \( a^2 - 1 \)
9. Добавим 1, как в исходном выражении: \( a^2 - 1 + 1 \)
10. Получим окончательный результат: \( a^2 \)

Ответ: a²