Укажите вариант слитного написания НЕ.

Правило:

Частица НЕ с некоторыми словами пишется слитно, если:

• Слово без НЕ не употребляется (например: ненавидеть).
• Слово с НЕ образует новое понятие, имеющее противоположное значение (например: неправда = ложь).
• НЕ входит в состав приставок недо- (в значении неполноты действия) или не- (в значении отрицания).

НЕ пишется раздельно:

• С глаголами и деепричастиями (кроме случаев, когда слово без НЕ не употребляется).
• С краткими причастиями.
• При наличии противопоставления с союзом «а».
• При наличии усилительных слов (вовсе не, далеко не, отнюдь не).

Решение:

Рассмотрим варианты:

• (не) проходимые дебри — здесь НЕ с причастием, которое имеет зависимые слова «проходимые» (как именно?) «в бродах», поэтому пишется раздельно. Правильно: непроходимые дебри.
• (не) громко, а чуть слышно — есть противопоставление с союзом «а», поэтому НЕ с наречием пишется раздельно. Правильно: не громко, а чуть слышно.
• (не) указанная в письме причина — здесь НЕ с причастием, которое имеет зависимые слова «указанная» (где?) «в письме», поэтому пишется раздельно. Правильно: не указанная в письме причина.
• отнюдь (не) весёлая история — есть усилительное слово «отнюдь», поэтому НЕ с прилагательным пишется раздельно. Правильно: отнюдь не весёлая история.
• (не) прилагая усилий — здесь НЕ с деепричастием, поэтому пишется раздельно. Правильно: не прилагая усилий.

Ответ: непроходимые.