Укажите решение неравенства \( (x+4)(x-9) \ge 0 \).

Решение:

Чтобы решить неравенство \( (x+4)(x-9) \ge 0 \), найдём корни уравнения \( (x+4)(x-9) = 0 \).

Корни: \( x_1 = -4 \) и \( x_2 = 9 \).

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала:

• \( (-\infty; -4] \)
• \( [-4; 9] \)
• \( [9; +\infty) \)

Проверим знак выражения \( (x+4)(x-9) \) в каждом интервале:

• При \( x < -4 \) (например, \( x = -5 \)): \( (-5+4)(-5-9) = (-1)(-14) = 14 > 0 \).
• При \( -4 < x < 9 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0+4)(0-9) = (4)(-9) = -36 < 0 \).
• При \( x > 9 \) (например, \( x = 10 \)): \( (10+4)(10-9) = (14)(1) = 14 > 0 \).

Так как нам нужно \( (x+4)(x-9) \ge 0 \), мы выбираем интервалы, где выражение положительно или равно нулю.

Решением являются \( x \) из интервалов \( (-\infty; -4] \) и \( [9; +\infty) \).

На числовой прямой это будет выглядеть так:

На изображении показаны варианты решения неравенства:

• 1) Интервал \( (-4; 9) \) — не подходит.
• 2) Интервал \( [9; +\infty) \) — часть решения.
• 3) Интервал \( [-4; 9] \) — не подходит.
• 4) Интервал \( (-\infty; -4] \) — часть решения.

Следовательно, правильное решение включает оба интервала: \( (-\infty; -4] \cup [9; +\infty) \).

Из представленных вариантов, варианты 2) и 4) являются частями решения.

Ответ: Решение неравенства: \( x \in (-\infty; -4] \cup [9; +\infty) \).