Укажите решение неравенства \( (x + 3)(x - 7) \le 0 \).

Решение:

Неравенство \( (x + 3)(x - 7) \le 0 \).

Найдем корни соответствующего уравнения \( (x + 3)(x - 7) = 0 \).

Корни: \( x = -3 \) и \( x = 7 \).

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала:

• \( (-\infty, -3] \)
• \( [-3, 7] \)
• \( [7, \infty) \)

Определим знак выражения \( (x + 3)(x - 7) \) в каждом интервале:

1. При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( (-4 + 3)(-4 - 7) = (-1)(-11) = 11 > 0 \).
2. При \( -3 < x < 7 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 + 3)(0 - 7) = (3)(-7) = -21 < 0 \).
3. При \( x > 7 \) (например, \( x = 8 \)): \( (8 + 3)(8 - 7) = (11)(1) = 11 > 0 \).

Нам нужно, чтобы выражение было \( \le 0 \), то есть отрицательным или равным нулю. Это соответствует интервалу \( [-3, 7] \).

Используя метод интервалов, мы видим, что решение неравенства — это отрезок от -3 до 7, включая концы.

Сравнивая с предложенными вариантами:

• Вариант 1: \( x > 7 \) (знак +)
• Вариант 2: \( -3 \le x \le 7 \) (знак - на интервале)
• Вариант 3: \( x < -3 \) (знак +)
• Вариант 4: \( x \le -3 \) (знак +)

Таким образом, правильный вариант — 2.

Ответ: 2