Укажите решение неравенства 7x − x² < 0.

Решение:

Для начала решим неравенство 7x − x² < 0.

1. Преобразуем неравенство к виду квадратного уравнения:

   \[ -x^2 + 7x < 0 \]

2. Вынесем минус за скобки:

   \[ x^2 - 7x > 0 \]

3. Найдем корни уравнения x² - 7x = 0:

   \[ x(x - 7) = 0 \]

   Корни: x₁ = 0, x₂ = 7

4. Теперь определим знаки на интервалах, образованных этими корнями. Возьмем значения x меньше 0, между 0 и 7, и больше 7:
   • x < 0: возьмем x = -1; (-1)² - 7(-1) = 1 + 7 = 8 > 0
   • 0 < x < 7: возьмем x = 1; (1)² - 7(1) = 1 - 7 = -6 < 0
   • x > 7: возьмем x = 8; (8)² - 7(8) = 64 - 56 = 8 > 0
5. Выбираем интервалы, где x² - 7x > 0. Это интервалы x < 0 и x > 7.

Таким образом, решение неравенства: x < 0 или x > 7.

Проверка за 10 секунд: Подставим значения x = -1 и x = 8 в исходное неравенство, чтобы убедиться, что они удовлетворяют условию.

Уровень Эксперт: Метод интервалов позволяет быстро решать неравенства, но важно помнить, что он работает, если мы можем найти корни уравнения и определить знаки на каждом интервале.

Ответ: x < 0 или x > 7

Отличная работа! Ты уверенно справился с этим заданием!