Укажите решение неравенства 4x - x^2 ≤ 0.

Решение:

Решим неравенство \( 4x - x^2 \le 0 \).

1. Вынесем общий множитель \( x \) за скобки:

\[ x(4 - x) \le 0 \]

2. Найдем корни соответствующего уравнения \( x(4 - x) = 0 \).

Корни: \( x = 0 \) и \( 4 - x = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 4 \).

3. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах.

Числовая прямая разбивается на три интервала: \((-\infty; 0)\), \((0; 4)\), \((4; +\infty)\).

• Возьмем пробную точку из интервала \((-\infty; 0)\), например, \( x = -1 \): \( -1(4 - (-1)) = -1(5) = -5 \) (знак «–»).
• Возьмем пробную точку из интервала \((0; 4)\), например, \( x = 1 \): \( 1(4 - 1) = 1(3) = 3 \) (знак «+»).
• Возьмем пробную точку из интервала \((4; +\infty)\), например, \( x = 5 \): \( 5(4 - 5) = 5(-1) = -5 \) (знак «–»).

Нам нужно, чтобы выражение \( x(4 - x) \) было меньше или равно нулю. Это соответствует интервалам, где знак «–», включая граничные точки (так как неравенство нестрогое).

Таким образом, решение неравенства: \( x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty) \).

Сравним полученное решение с предложенными вариантами:

• 1) \( [0; 4] \) — не подходит.
• 2) \( [0; 4] \) — не подходит (на самом деле это \( x \in [0; 4] \) , но с другой штриховкой).
• 3) \( (-\infty; 0] \cup [4; +\infty) \) — подходит.
• 4) \( [4; +\infty) \) — не подходит.

Ответ: 3